现实世界：理解数学的金钥匙



当代数学，庞大而繁杂，学数学的，往往陷在森林之中，看不清远处。但是，只要我们把数学当作理解现实世界的工具，数学本身也就容易理解了。下面，我们简单介绍一下数学的几个重要分支以及它们与现实的关系。



1．拓扑学

庞加勒最初想用微分方程描述三个物体在引力作用下的运动轨迹，即三体问题，但发现运动轨迹极为复杂，很难扫描，他退而求其次，希望理解系统的稳定性，而非精确的轨道，这就是拓扑学。由于拓扑学不需要象分析学那样精确，拓扑学方法在许多领域，比如经济学，得到广泛应用。人们所熟悉的《美丽心灵》中的纳什，就是用拓扑学方法来证明博奕论中的一个存在性问题。拓扑学理论还用来证明一般均衡态的存在性，即Arrow-Debreu 理论。为此Arrow 和Debreu两人都拿了诺贝尔奖。

Debreu[1] 曾提到拓扑学方法的好处, “In the area under discussion it has been essentially a
change from calculus to convexity and topological properties, a transformation
which has resulted notable gains in the generality and in the simplicity of the
theory” (Debreu, 1959, p. x). 但同时, 拓扑学方法不能提供一个定量的价值理论.而分析方法却可以,详情可参看[2] 第六章.

2. 概率论和随机过程

1900年, BACHELIER 递交了他的博士论文, 题目为<<投机的数学>>. 建立了布朗运动的数学理论, 但他的工作在他在世的时候并没有受人重视.直到半个多世纪后, 才受到经济学界的重视. 这方面的最大成就是1973年的BLACK-SCHOLES 期权理论. FISCHER BLACK是一位数学博士．

我们无法知道微观粒子的确切路径, 但我们可以知道微观粒子的路径分布,
1948年, 费曼提出了路径积分方法, 后经Kac 进一步推演, 成为Feynman-Kac 公式, 是概率论和随机过程理论中应用极广的一个方法, 也应用到经济学理论. Dixit 和 Pindyck 在1994 年出了一本很有影响力的书[3]. 书中提到“Feynman could be claimed as the father of financial
economics” (Dixit and Pindyck, 1994, p. 123). 但他们并没有使用Feynman-Kac 公式, 而是用了Fokker- Planck equation. 大概他们没有意识到两者之间的区别. 如果他们使用Feynman 的方法, 会得到经济学里很重要的结果, 详情可参看[2] 第三章.

3．代数和非交换代数

费曼提出路径积分, 是第三种量子力学理论. 1925年，海森堡，波恩和乔丹提出了量子力学的第一个理论：矩阵力学。其最基本的结果就是位置和动量乘积的非交换性。正是由于量子力学的兴起，代数，特別是非交换代数的研究，变得非常活跃。



4． 泛函分析和算子理论

在学习泛函分析前，我们学过函数。每个函数，都有明确的自变量和函数值。但是，在微观世界里，我们无法精确知道很多数值，比如我们无法精确知道一个电子的位置和动量，我们只能知道它们的概率分布，这种函数的定义比传统的函数定义广泛，是为泛函。

1926年, 薛定谔提出第二种量子力学理论：波动力学. 其基础是薛定谔方程. 了解量子力学一般通过对应原理, 比如说, 经典力学中有一个动量, 量子力学里就有一个动量算子. 这样, 量子力学里的方程, 象薛定谔方程, 就容易从经典力学理解了. 数学中的算子理论, 也因此流行.

从上面的讨论可知, 量子力学的三种理论, 催生出很多不同的数学理论. 由于量子力学的这三种理论是等价的, 这些看上去很不同的数学理论有着很多深层的联系.

5. 信息论

信息论是申农在1948年发表的. 研究信息论的最初目的是破解敌方的密码. 要破解敌方的密码, 必须找到文字的规律, 那么文字有什么规律呢? 我们说话, 不知不觉, 都想用最短的方式表达. 而申农证明了, 一个信息最短的表达方式是熵凾数. 也就是说, 熵凾数是是天然的经济度量. 因为信息论可以计算信息编码的最短值, 成了信息压缩技术的理论基础. 而人的大脑也需要减少信息处理的成本,因此信息论也成为理解思维的工具,详细的讨论可参看[2] 第五章.

由于信息和熵, 一个最基本的物理量, 连在一起, 很多人猜测信息论会有极广泛的应用. 1956年, KELLY 推导出信息的量值等于投资的最高回报率, KELLY 的工作在投资界得到广泛应用, 但却被经济学理论界拒绝.
POUNDSTONE 曾写过一本书[4]，描写了形形色色的有关人士．

我们评价一个数学工作的重要性,往往以难度衡量, 但是数学和其它科学的目的, 不是为了增加难度, 而是为了简化问题, 从长远的角度, 那些对实际问题带来更加简洁理解的数学方法, 才会有更多的人去学习.从上面介绍的几个例子，我们可以看到，源于现实世界需要的数学研究, 往往具有强大的生命力. 在过去一百多年中, 物理学,特别是统计物理和量子物理,是数学理论的重要源泉.而过去几十年和将来, 数学在经济学领域的应用将给整个社会科学带来巨大的变化.

参考文献

1.       Debreu, G. (1959). Theory
of value; an axiomatic analysis of economic equilibrium. New
York: Wiley.

2.       Chen,
J. (2015) The
Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory,
Springer

3.       Dixit, A. and
Pindyck, R. (1994).Investment under uncertainty, Princeton University
Press, Princeton.

4.       Poundstone, W.
(2005).Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System
That Beat the Casinos and Wall Street, Hill and Wang