效用函数是什么样子的？

在主流经济理论中，决策者最大化其效用函数。因此效用函数是主流经济理论中最重要的概念。在学术文献中，效用函数可以采取各种形式。但是我们每个人的效用函数是什么？如果我们不知道我们自己的效用函数，我们如何最大化它呢？在本文中，我们将证明在非常一般的条件下，效用函数是对数函数。这样，效用函数就成了一个有明确意义的概念。

当效用函数的概念在大约三百年前首次引入时，它是一个对数函数（Bernoulli，1738）。但在后来的文献中，使用了许多形式的效用函数。最近，有些人证明对数函数等价于最大化几何回报率，从进化论的角度，对数函数应该是效用函数的主要形式。更详细讨论请参考Sinn（2003）。我们用简单的数学推导，证明在非常一般的条件下，效用函数是对数函数。 

假设我们去商店买两件东西，一块电池和一本书。如果电池和书是彼此独立的，那么一起考虑电池和书的效用，应该与单独考虑的相同。 数学上，对于效用函数f，如果两个变量x，y彼此独立，则f（xy）= f（x）+ f（y）。通过一个简单的方法（见附录）可以证明，如果f（xy）= f（x）+ f（y），则f（x）必然是对数函数。因此，在非常一般的条件下，我们的效用函数是一个对数函数。 

上面的方法非常简单。然而，该方法在科学中推导出一些非常重要的结果。在玻尔兹曼的墓碑上，刻着一个简单的公式，S = k logW。这个公式将熵，S，与微观状态数，W，用对数函数联系起来。在香农的信息理论中，信息量，S，与信号的概率，P，通过对数函数S = -logP 联系起来。物理熵，信息和效用函数之间的相似性不是偶然的，它表明人类的思想，包括数学能力，是对物理世界的适应（Chen，2016）。 

在主流经济理论中，人类行为的差异通常归因于效用函数的差异。例如，年轻人和老年人之间的投资方式的差异通常归因于他们的效用函数的差异。我们刚才证明，人们的效用函数是相同的，年轻人和老年人之间的投资方式 的差异可归因于他们在收入和支出上的差异。老年人的支出通常比收入高。因此，他们的投资组合通常包括较高比例的固定收益资产以补偿现金流出。年轻人通常定期为他们的养老基金缴款。因此，他们的投资组合通常包括较低的固定收益资产比例以补偿现金流入。

在主流经济理论中，效用函数可以采取无穷多种形式。但是实际数据总是有限的。因此，主流经济理论不能被证伪。不可证伪的理论是一种科学理论吗？相反，当效用函数是唯一的并且等于几何回报率时，经济理论变成可证伪的，并且可以从与实际问题的比较中改进。 

附录

如果对任何变量 x, y, f(xy) = f(x) + f(y), 那么 f(x) = k log(x).

证明： 在  f(xy) = f(x) + f(y) 两边， 对 x 求导，得到

       y f’(xy) = f’(x)

       让 y = 1/x, 上面的等式成为  1/x f’(1) = f’(x). 所以

       f(x) = k log(x) + C,

       将上式代入 f(xy) = f(x) + f(y), 得到  C = 0, 因此

 f(x) = k log(x)

 参考文献

Bernoulli, D. 1738 (1954).Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. Econometrica, 22(1), 23-36.

Chen,J, TheUnity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, (2016), Springer

Sinn, H. (2003). Weber’s law and the biological evolution of risk preferences: The selective dominance of the logarithmic utility function, The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory 28, 87-100;