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gugeren:【数学】一个素数的充要条件--双平方和定理
送交者: gugeren 2017年05月04日08:54:42 于 [教育学术] 发送悄悄话

【数学】一个素数的充要条件--双平方和定理


100以内的素数如下【25个】:

2,3,5,7,

11,13,17,19,

23,29,31,37,

41,43,47,53,59,

61,67,71,73,79,

83,89,97.


从以上这个素数的小样本里,可以看出,除了唯一的偶素数2以外,余下的24个素数若被4除,可以分成2大类:

1】可写成(4k+1)形式的素数,k为不小于1的整数:5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97【11个】;

2】可写成(4k+3)形式的素数,k为不小于0的整数:3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83【13个】。


1640年的圣诞节,著名法国数学家费尔马(Pierre de Fermat,1607-1665)写信给另一位法国数学家Marin Mersenne(1588-1648)【有名的梅森素数就是以他的名字命名的】,提出一个问题:什么数可以表示为2个平方之和?


从费尔马的这封信,引出了素数的一个充分必要条件:

一个奇素数可表为两个平方数之和的充分必要条件是此素数可写为4k+1的形式,k为不小于1的整数。


这种类型的素数,被称为“毕达哥拉斯素数【Pythagorean primes】”,即在“勾股定理”(西方称“毕达哥拉斯定理”)中,代表“弦”的那个数。

费尔马提出的这个问题虽然貌似简单,但是证明起来并不那么容易。


直到100多年后的1747年,著名瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)才对此做出了证明。以后的几位数学家利用较新的不同的数学理论,不断地对这个定理进行了新的各种证明。


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相关链接

Fermat's theorem on sums of two squares

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares


Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares

https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares



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