【數學】一個素數的充要條件--雙平方和定理

100以內的素數如下【25個】：

2，3，5，7，

11，13，17，19，

23，29，31，37，

41，43，47，53，59，

61，67，71，73，79，

83，89，97.

從以上這個素數的小樣本里，可以看出，除了唯一的偶素數2以外，餘下的24個素數若被4除，可以分成2大類：

1】可寫成（4k+1）形式的素數，k為不小於1的整數：5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97【11個】；

2】可寫成（4k+3）形式的素數，k為不小於0的整數：3，7，11，19，23，31，43，47，59，67，71，79，83【13個】。

1640年的聖誕節，著名法國數學家費爾馬（Pierre de Fermat，1607-1665）寫信給另一位法國數學家Marin Mersenne（1588-1648）【有名的梅森素數就是以他的名字命名的】，提出一個問題：什麼數可以表示為2個平方之和？

從費爾馬的這封信，引出了素數的一個充分必要條件：

一個奇素數可表為兩個平方數之和的充分必要條件是此素數可寫為4k+1的形式，k為不小於1的整數。

這種類型的素數，被稱為“畢達哥拉斯素數【Pythagorean primes】”，即在“勾股定理”（西方稱“畢達哥拉斯定理”）中，代表“弦”的那個數。

費爾馬提出的這個問題雖然貌似簡單，但是證明起來並不那麼容易。

直到100多年後的1747年，著名瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）才對此做出了證明。以後的幾位數學家利用較新的不同的數學理論，不斷地對這個定理進行了新的各種證明。

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相關鏈接：

Fermat's theorem on sums of two squares：

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares

Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares：

https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares