【数学】最漂亮的数学公式

1988年，德国著名的科学出版社Springer旗下的数学杂志《Mathematical Intelligencer》让读者评选“最漂亮的数学公式【the Most Beautiful Mathematical Formula Ever】”。

读者选出瑞士数学家欧拉（1707-1783）的著名公式“欧拉恒等式（Euler's identity）”为第一名。

欧拉恒等式 - 公式【1】：

顺便说一下，以上这些读者选出的前5个数学公式里，属于欧拉名下的就有3个。

学过高中数学中的复数知识的都知道，可以用指数函数来表示复数 x+iy（i称“虚数单位”，定义为-1的平方根）。

公式【2】：

这用一个直角坐标图可以看得比较清楚：

【图3】【复数-直角坐标】

这里， r = √(x^2 + y^2)，称“模（modulus）”，φ是点（x,y）和直角坐标系原点的连线，与x轴之间的夹角。

实际上，公式【2】是由以下被称为“欧拉公式（Euler's formula）”的公式【4】推广而来的：

欧拉公式 - 公式【4】

欧拉公式可由级数展开或在公式两边分别求导来证明。

再回到欧拉恒等式 - 公式【1】。

仔细琢磨一下，可以看出，公式【1】的漂亮之处在于：

1）实现了指数函数和三角函数之间的量的对应；

2）实现了直角坐标系和极坐标系之间的量的对应；

3）实现了实数和复数之间的量的对应；

4）沟通了似乎互不相关的一些数学常数之间的关系：e、π、i、1和0。

无怪著名法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）说过：“读读欧拉，读读欧拉，他是所有人的老师。”

欧拉的所有著作至今尚未整理完毕。估计他的著作全部出齐，可达84卷之多。它们涉及了数学的绝大多数领域，以及物理学和天文学等领域。欧拉的许多工作都是开创性的。

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相关链接：

Euler's identity：

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity

Euler's formula：

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula

Leonhard Euler：

https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler