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【数学】最漂亮的数学公式
送交者: gugeren 2017年05月18日09:23:33 于 [教育学术] 发送悄悄话

【数学】最漂亮的数学公式


1988年,德国著名的科学出版社Springer旗下的数学杂志《Mathematical Intelligencer》让读者评选“最漂亮的数学公式【the Most Beautiful Mathematical Formula Ever】”。


读者选出瑞士数学家欧拉(1707-1783)的著名公式“欧拉恒等式(Euler's identity)”为第一名。


欧拉恒等式 - 公式【1】:


1Euler-Identity.png


顺便说一下,以上这些读者选出的前5个数学公式里,属于欧拉名下的就有3个。


学过高中数学中的复数知识的都知道,可以用指数函数来表示复数 x+iy(i称“虚数单位”,定义为-1的平方根)。


公式【2】:



这用一个直角坐标图可以看得比较清楚:

【图3】【复数-直角坐标】



这里, r = √(x^2 + y^2),称“模(modulus)”,φ是点(x,y)和直角坐标系原点的连线,与x轴之间的夹角。


实际上,公式【2】是由以下被称为“欧拉公式(Euler's formula)”的公式【4】推广而来的:


欧拉公式 - 公式【4】


4Euler's formula.png


欧拉公式可由级数展开或在公式两边分别求导来证明。


再回到欧拉恒等式 - 公式【1】。

仔细琢磨一下,可以看出,公式【1】的漂亮之处在于:

1)实现了指数函数和三角函数之间的量的对应;

2)实现了直角坐标系和极坐标系之间的量的对应;

3)实现了实数和复数之间的量的对应;

4)沟通了似乎互不相关的一些数学常数之间的关系:e、π、i、1和0。


无怪著名法国数学家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749-1827)说过:“读读欧拉,读读欧拉,他是所有人的老师。”


欧拉的所有著作至今尚未整理完毕。估计他的著作全部出齐,可达84卷之多。它们涉及了数学的绝大多数领域,以及物理学和天文学等领域。欧拉的许多工作都是开创性的。


==

相关链接

Euler's identity

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity


Euler's formula

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula


Leonhard Euler

https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler



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