【數學】最漂亮的數學公式

1988年，德國著名的科學出版社Springer旗下的數學雜誌《Mathematical Intelligencer》讓讀者評選“最漂亮的數學公式【the Most Beautiful Mathematical Formula Ever】”。

讀者選出瑞士數學家歐拉（1707-1783）的著名公式“歐拉恆等式（Euler's identity）”為第一名。

歐拉恆等式 - 公式【1】：

順便說一下，以上這些讀者選出的前5個數學公式里，屬於歐拉名下的就有3個。

學過高中數學中的複數知識的都知道，可以用指數函數來表示複數 x+iy（i稱“虛數單位”，定義為-1的平方根）。

公式【2】：

這用一個直角坐標圖可以看得比較清楚：

【圖3】【複數-直角坐標】

這裡， r = √(x^2 + y^2)，稱“模（modulus）”，φ是點（x,y）和直角坐標系原點的連線，與x軸之間的夾角。

實際上，公式【2】是由以下被稱為“歐拉公式（Euler's formula）”的公式【4】推廣而來的：

歐拉公式 - 公式【4】

歐拉公式可由級數展開或在公式兩邊分別求導來證明。

再回到歐拉恆等式 - 公式【1】。

仔細琢磨一下，可以看出，公式【1】的漂亮之處在於：

1）實現了指數函數和三角函數之間的量的對應；

2）實現了直角坐標系和極坐標系之間的量的對應；

3）實現了實數和複數之間的量的對應；

4）溝通了似乎互不相關的一些數學常數之間的關係：e、π、i、1和0。

無怪著名法國數學家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）說過：“讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是所有人的老師。”

歐拉的所有著作至今尚未整理完畢。估計他的著作全部出齊，可達84卷之多。它們涉及了數學的絕大多數領域，以及物理學和天文學等領域。歐拉的許多工作都是開創性的。

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相關鏈接：

Euler's identity：

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity

Euler's formula：

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula

Leonhard Euler：

https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler