设万维读者为首页 广告服务 技术服务 联系我们 关于万维
简体 繁体 手机版
分类广告
版主:诤友
万维读者网 > 教育学术 > 帖子
【数学】有趣的三角形数
送交者: gugeren 2017年05月20日20:04:42 于 [教育学术] 发送悄悄话

【数学】有趣的三角形数

三角形数(triangular number)是指一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为“三角形数”。


见图即可分晓:

【图1】


1Triangular_numbers.png



前几个三角形数是:1, 3, 6, 10, ..., n(n+1)/2, ...

其中,n(n+1)/2 是第n个“三角形数”T(n)的值。

显然,求T(n)值的公式,就是一个求算术/等差级数的求和公式。


“三角形数”的性质有:

1】第n个“三角形数”是从1开始的n个自然数的和。

【由算术级数的级数求和公式可得】


2】所有大于3的“三角形数”都不是素数。

【证明:由“三角形数”通项公式T(n) = n(n+1)/2可知,T(n)必有一个因数 n 或 (n+1),故得证。】


3】任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。

【证明:利用三角形数的通项公式即可证明】


3.1】一种检验正整数x是否三角形数的方法,可计算:

2n+1=[(√8x+1)-1]/2:

--如果(2n+1)是整数,那么x就是第n个三角形数;

--如果(2n+1)不是整数,那么x不是三角形数。

这个检验法是基于上述性质【4】。


4】一部分“三角形数”(3、10、21、36、55、78……)可以用以下公式表示: T(n)=k*(2k+1);

而剩下的另一部分“三角形数”(1、6、15、28、45、66……)则可以用 公式 T(n)=k*(2k-1) 表示。

【证明:将n分别以偶数和奇数2种情况考虑:

1)当n=2k为偶数时(k>=1),T(n)=2k*(2k+1)/2=k*(2k+1);

2)当n=(2k-1)为奇数时(k>=1),T(n)=2k*(2k-1)/2=k*(2k-1)。】


5】一个三角数乘以9加上1仍是一个三角数。

【证明:9n/[2(n+1)]+1 = (1/2)*(3n+1)(3n+2)】


6】两个相继的三角形数之和是平方数。

【证明:利用三角形数的通项式即可证明】


7】从1开始的n个立方数的和是第n个“三角形数”的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2)

【证明:参见以下链接里的证明:


https://brilliant.org/wiki/sum-of-n-n2-or-n3/#sum-of-the-cubes-of-first-n-positive-integers】


8】所有“三角形数”的倒数之和的极限是2。

【证明:见wikipedia的“Triangular number”条目】


以下几个性质需要用到较深的数学知识,有兴趣的网友可自行去找证明。

9】所有偶完美数都是三角形数。

【注:完美数(perfect number):完美数所有的真因数(即除了本身以外的因数)之和,恰好等于它本身。偶完美数就是完美数是偶数的数。】


10】任何自然数都是最多为3个三角形数之和。高斯发现了这个规律,他在1796年7月10日的日记中写道:EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ【故被称为“Eureka theorem”。】。


“三角形数”的应用

1】“三角形数”与“二项式系数”(即“贾宪-杨辉三角”)中,右起第4项(或对称地,左起第4项)的那个系数是相同的。

2】体育比赛场数的计算,需要用到“三角形数”,或算术级数。

3】资产折旧的计算方法也要用到它。


==

相关链接

https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number


https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E6%95%B8


http://www.shyamsundergupta.com/triangle.htm



0%(0)
0%(0)
  欧拉也出错了 - 零加一中 05/21/17 (1070)
标 题 (必选项):
内 容 (选填项):
实用资讯
回国机票$360起 | 商务舱省$200 | 全球最佳航空公司出炉:海航获五星
海外华人福利!在线看陈建斌《三叉戟》热血归回 豪情筑梦 高清免费看 无地区限制
一周点击热帖 更多>>
一周回复热帖
历史上的今天:回复热帖
2016: 美国高中名校升学率最高的 TOP100
2016: 溪谷闲人:100年前美国人预言的准确度
2015: D.QU:我对中国文学诗词系列探讨总结
2014: 今天两则重要的医学和健康新闻
2014: 二则出版信息存档:论文及中文诗
2013: 朱令案眼科问题三答质疑
2013: 新民:感受大女儿大学毕业典礼
2012: 一位反华人士在西方被当贱民的下场
2012: 大陆科研:有Calculation没motivation