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用时空图解释狭义相对论及双生子佯缪
送交者: L07438 2017年12月28日11:54:04 于 [教育学术] 发送悄悄话

当人们学习或思考狭义相对论时,常为它的表述与自己的常识和逻辑上的矛盾而抓狂:当A高速离开B时,B认为自己是静止的,高速的A的时间变慢;反过来,A也可认为自己是静止的,B高速离开自己而B的时间变慢。到底谁变慢,似乎永远说不清。
双生子佯缪更令人沮丧:假如AB为一对双生子,A离开B高速到外星旅行,B留在地球上而静止。当多年后A回到地球时,根据狭义相对论,A因为高速旅行,相会时A比B要年轻。许多人自然会这样质疑:从B的观点看,B静止,A运动,A的时间变慢而比自己年轻;但A也可以认为自己的飞船是静止的,B的地球在运动,这样B的时间变慢,结果B比A年轻。看来每方叙述都似乎有理,因而讨论陷入一个似乎无法解决的孛伦之中。
到低谁的观点对呢?答案是A比B年轻。
本文将时空图的工具,来给出一个解释。
如果读者有耐心看下来,也许可以弄清这困扰许多人的问题。你只需高中的数学知识。
以下是时空图的画法,为了简化起见,空间只用了一维。

fig1a.png

 
图中的直角坐标里,ot代表时间轴,os代表空间轴,
oc表示光的运动时空线,如果我们使用一年为一时间刻度,一光年为一空间刻度,当一年与一光年的刻度长度相同时,oc与os或ot夹角都为45度。
如果T为一年的刻度而S为一光年的刻度,三角形oTC是个等腰三角形,或oT=TC。
oT/TC=1表示光速等于一,这是代表光速c的必要条件。
任何与os平行的线被称为同时线,比如TC,线上任何一点代表空间不同位置上的时间都是相同的。
任何与ot平行的线则称为等距线,比如SC,线上任何一点代表不同时间里空间位置到原点的距离是一样的。
现有一物体从原点出发,oa代表其运动的时空线,随着时间的流逝,它距原地越来越远。
如果考虑为运动物体建一新体系,该体系相对原静止体系运动,我们可画出它的相应时空图。对应的座标是平行四边形。
oa是其时间轴。
对于牛顿的绝对时空观,os是其空间轴,没变。
这里要提到光速不变原理:真空中的光速对任何观察者来说都是相同的,不管观察者是静止或运动。1887年,迈克尔逊和莫雷在美国克利夫兰做的用迈克尔逊干涉仪测量两垂直光的光速差值,证明了光速在不同惯性系和不同方向上都是相同的。
以上牛顿绝对时空观的时空图会有一重大问题,光速在这里是EC/OE(E 和 T时间刻度相同,因E在TC的同时线上),因距离刻度EC明显小于TC而造成光速小于一,光速不变原理在这个时空图中不成立!
为了满足光速不变原理,这时空图必须修改,类似等腰三角形oT=TC的要求,新的运动体系座标的距离刻度应等于时间刻度。我们用oE的等长在光的运动时空线画出一个交点F,满足oE=EF。从原点出发的空间轴ox与EF平行,这时它不再与os重合了。(下图)
 

fig1b.png

这是个革命性的变革!EF/oE=1,光速等于一,新的时空关系图满足了光速不变原理。
任何与ox平行的线为运动体系的同时线,比如EF和NM。它们不再与静止坐标的同时线平行。同时性的相对性,或不同体系的观察者对同时的观念将会分歧,在此显现出来。
而与oa平行的任何平行线为等距线,比如XF。
假定一年的刻度在静止体系座标是T点,一年的刻度在运动体系座标是M点。由于静止体系观测到运动体系的时钟会变慢,所以它的一年同时线TC在oa轴上的交点E必须小于一年刻度,或oE对应的时间长度小于oT对应的时间长度。
基于相对性的对等原理,反过来,运动体系观测到静止体系的时钟也会变慢,所以它的一年同时线NM在ot轴上的交点N的必须小于一年刻度T。
为满足以上要求,M必须在E的上方而N必须在T的下方,NM与TE相交。
由此也看出,运动体系的一年的刻度在几何上比静止体系的要长,当运动体系越接近光速,其刻度越长。
空间轴的情况与以上讨论类似:运动体系的一光年等距线与静止体系的一光年等距线相交,每方看对方的长度都会变短。运动体系的一光年的刻度在几何上比静止体系的要长,当运动体系越接近光速,其刻度越长。
对于文中第一个问题,如果使用以上讨论的相对论时空图,事情就变得很清楚了:A用了自己的同时线判断B的时间变慢;B用了自己的同时线判断A的时间变慢,两者互不矛盾。
在解释AB双生子佯缪时,比较常见和权威的答案是:如果A离开B高速旅行再回来,A会比B年轻,因为B始终在惯性系统中;而A至少经过加速和减速,历过非惯性系统,所以时间会减缓。该答案是正确的,但人们往往觉得缺少过程和细节的描述,道理完全没有讲得很清楚。
使用以上讨论的相对论时空图来解释AB双生子佯缪,会相当清楚和简单。
下图表达AB双生子离别和相会的时空图。
 

fig2.png

如果A高速离开B,在多年后接近目的地D处,B用静止体系的同时线T2D认定在T2时刻时,A因高速运动,时间流逝慢了,A较为年轻。
反过来,高速的A在D处用自己体系的同时线T1D认定B的时间在T1处,B比自己年轻。
当A经过减速后真正到达目的地D而与B相对静止,这时两者又将共用B的静止体系--双方都用T2D的同时线。
如果A具有瞬时超距观察的本领(因信息传播受光速限制,这观察只能是想象的),他在减速时会观察到,当自己的同时线由高速时的T1D变到静止时的T2D的过程中,B的时间飞速流逝,从T1跳到到T2,B迅速变老。
从时间刻度比较,基于狭义相对论的时间关系,运动体系oD的时间刻度小于静止体系oT2的时间刻度,A的时间流逝比B慢。而A对B的观察中,尽管o到T1的时间刻度比oD小,但加上A减速中T1跳到到T2部分,B的时间流逝还是oT2,比oD大。两种描述相容,都是oT2与oD相比。
在A从D处回程的旅行中,B在静止体系判断A因高速运动,时间变慢,T2T4的时间刻度大于DT4的时间刻度。
这时光的运动时空线为Dc1,A的时间轴为Da1。在A从D处开始高速运动时,Dx1为其空间轴兼同时线。
如用想象的超距观察,当A从D处由静止加速到高速时会发现,其同时线由静止时的T2D扫到高速运动时的T3D(Dx1)的过程中,B的时间飞速流逝,从T2跳到很久将来的T3(因信息传播受光速限制,这种“观察到将来”的现象是只可想象而不可能真正实现的)。尽管回程中A也认定B的时间流逝T3T4比自己DT4慢,但B早在A加速时衰老了很多。B的总时间流逝仍是T2T4而比A的回程DT4的时间刻度大,与B的观察相容。
综合去来路程,当A回到T4点和B相会时,A一定会比B年轻。


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