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799、付过千般爱 在你手上 广义相对论40
送交者: 和颜清心 2019年08月04日02:39:36 于 [教育学术] 发送悄悄话


 3分钟


image.png


亲爱的朋友,根据常识,几乎人人皆知,

某点可以作无数平面,


image.png


那么,是否要用无数平面上的应力,

才能描述某点的应力状况呢?回答是不需要。

物理上规定,只需用过一点

‘任意一组’相互垂直的三个平面上的应力,

就可以代表某一点应力状态了。

其它面的应力可以用与被考察面的方位关系来决定。

就是说,只要在无数可能产生的平面中

海选出一组做代表就可以了。


image.png

(图中的F 代表合力F)


应变有‘线应变’、有‘角应变’两大类。


1)‘线应变’,又叫‘正应变’,


(‘正应变’用一个长得像短尾巴小蝌蚪

     希腊字母Sigma 西格玛 σ来表示   image.png    )


‘正应变’是在某一方向上的

微小线段变形产生的长度增量原长度比值


2)‘角应变’又叫‘切应变’或‘剪应变’。

‘切应变’用希腊字母τ(tau )表示。

‘切应变’是两个相互垂直方向上的微小线段

在变形后所形成的夹角改变量(以弧度表示)。


image.png


从宏观角度说,

弹性是衡量物体抵抗弹性变形的能力,

从微观角度来说,

则是原子、离子或分子之间键合强度的反映。

想象在某个‘假想截面’的P点处,

切开物体,如下图所示。

根据定义,可以得到P点

1 个‘正应力’和2个‘切应力’(剪应力)。

以上这3个分量(1个正应力、2个切应力)的合成,

‘全应力’


‘全应力’用大写希腊字母 T (Tau) 表示

我们可以用蟾蜍(英语Toad)

第一个字母T来帮助记忆。


通过学习,我们还知道


实际情况是,过某一点的受力,常常是复杂的,


那么如何能描述某一点的应力状态呢?


用向量显然不行,


物理上规定,在遇到具有多种方向的应力时,


需要使用‘具有多种方向’的物理量,


即使用一个叫‘张量’的东西来描述,


好像需要把‘粉条’换成‘洋葱头’。


粉条若是一维的;


洋葱头就是多维的(即葱头具有多重方向性)。



现在重点来了——

 

(3)什么是‘应力张量’( Stress tensor)?


image.png



如图所示,P为直角坐标系0XYZ中,



某一(受压)变形体内的任意一点,

 

在该点附近  image.png  切取一个‘各平面’都平行于

 

‘原坐标平面’的六面体(或叫单元体、微元体)。

 

此六面体上互相垂直三个平面上的应力分量

 

即可表示该点应力状态


(实际上凡是‘正六面体’,


    任意相邻的2个面,都是彼此垂直的)。

 

 

应力,即某点处单位面积上受到的力。 

 

应力可分解为 


正应力 法向应力 )和切应力。

 

 

【单元体的概念】

 

何谓单元我们可以将单元体定义为:


具有相同形状、体积或结构的


一个独立体或多个空间形体组合体,


由单元体生成整体。

 


image.png


一个应力分量,由

‘截面方向’和 ‘分量方向’准确决定。

在数学上的表征就是,

某点的应力状态用一个‘二阶张量’来表示。


简单来说,应力张量是一个二阶物理量。


这种二阶状态可以理解为:


要把空间内某一点的所有面的方向说清楚,


需要三个‘面元方向’作基底,


在数学中,用很多小的平面描述一个曲面。

这些小的平面就叫“面元”,可理解为曲面上的小单元。

 

(basis)(即基底)是描述向量空间的基本概念。


向量空间‘基’的元素,称为基向量


要把其中每一个‘面元方向’受力情况说清楚,


又各需要力的三个分量作基底,


如此一来,33就得到9个分量。



【复习】

image.png


如图所示,P为‘直角坐标系’OXYZ中


一个(受压而变形的)‘变体’内的任意一点,


在‘该’P动手术, 切取一个各面都平行于


‘原坐标面’的‘新六面体’,



这个新的‘六面体’,呱呱落地后,



image.png



自然会带来3个相互垂直的面,


但是在实际计算中,


根本不用取所有的面,


而只取1组3个相互垂直的面做代表,


这个作为代表的3个互相垂直的面上的‘应力量’,


即是该点的‘应力状态’ 


就是说,人们可以在这个‘六面体’上,


只取1组作为代表,


而这个‘代表组’所拥有的应力,就叫‘应力张量’





image.png


【关于下标】


应力分量的


第一个下标表示作用平面的法向;


第二个下标表示应力作用的方向。


正应力的两个下标是一样的,故用一个下标简写之。



【小结】


场方程的“应力”,


是一个叫“应力张量”的二阶张量


stress tensor 应力张量


概略地说,应力描述了物质内各部分之间通过力


(且是通过近距离接触的作用力


进行相互作用的强度


就是说,


相对论中,应力是二阶的,全称“应力张量”


三维空间中,某点需九个分量来确定这个张量


即三维空间的某一点需要用


3个‘正应力’和 6个‘剪应力’来确定。




 image.png谢谢。



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