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直观地以解析几何平面直角坐标系变换地理解罗巴切夫斯基几何
送交者: 北斗天巡 2019年10月02日01:26:23 于 [教育学术] 发送悄悄话
如何快速地大致了解罗巴切夫斯基几何?其实也不难,黎曼几何对应的是球面,过一条线段外一点一条平行线也没有;而罗巴切夫斯基几何对应的曲面过线段外一点可以做无穷多平行线,直观的想象就不那么容易了,这时候不妨设想在类似欧几里得几何平面的平直桌面上铺一张纸,在上面画出一个直角坐标系,并在X轴上作一点A、在Y轴上作一点B、并且连接该两点得到线段AB、并且过AB外一点作一点C,在欧几里得平面上过C有且只有一条直线与AB平行。但是,当Y轴朝桌面朝上的方向也就是相当于Z轴的正方向呈抛物线样地翘曲,X轴然后也向桌面上方Z轴正方向翘曲呈抛物线状,那么就得到一个马鞍形的曲面,可以直观地看到原本线段AB所在的平直的欧几里得平面就会整个平面、不仅仅是X轴和Y轴也不仅仅是线段AB而且是整个坐标平面都翘曲成马鞍形,原本过AB外一点C所作的AB平行线此时仍然与AB平行不相交,但是在此时的马鞍形曲面过AB外一点C除此之外很明显地仍然可以看到可以作“许多”条曲面线段与AB永不相交,类似于(但不是等于)平面直角坐标系下双曲线函数轨迹的双曲线永不相交而且其中一条曲线改变曲率、可以改变成在一个开区间内所有实数数值所对应的一个阶段以内无穷分割的无数曲率、都使得两条曲线永不相交,此时这样作出的两条曲线就相当于刚才的实验里平直纸面象征欧几里得平面然后翘曲而成的马鞍形曲面上、线段AB和过线段AB外一点C可以做出的开区间内的无穷多的线,当这个马鞍形曲面重新沿着平直平面形成自己的翘曲轨迹倒退回去、曲面上过线段AB外一点C可以做出的开区间内的无穷多的线原本各自具有不同的发散方向,这些方向一一对应着对应自身在曲面上的二维XY坐标轴上不同的曲率、也对应着平面翘曲时平面向不同方向的翘曲程度、此时这些发散方向随着曲面的铺平而受制约于各自发散方向所对应的曲面二维XY坐标轴上的曲率、对应地全部收敛成平面二维XY坐标轴上过AB外一点C有且只有的那一条直线。想要理解这一点,关键是要理解到“二维直角坐标系”的“二维”仅指两个互相正交(点乘的积为零)的方向,不一定此二维坐标一定铺在平面上,也可以铺在各种各样的规则不规则的奇怪曲面上,按照曲面的不同部分的对应曲率变换三维空间中的点的坐标值就行。
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