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“气死数学家”的解答
送交者: 零加一中 2020年04月20日18:59:02 于 [教育学术] 发送悄悄话

每次读《费马大定理》,总会发现一两个以前忽视的故事。这次也不例外。

有一道“难题”,数学家们好几十年未能解出。当终于有人把它解出,数学家气死了,原来聪明点的高中生,甚至初中生就可以做。或者这么说,答案如此简单,一般的初中生就能看懂,根本用不到任何先进的数学工具。

作者介绍这个故事,是说明 Wilse 教授在“闭关修炼”前,做了大量的阅读,他认为,19-20世纪现存的数学工具,不足以解决这个问题。或者说,这些工具只能用来解决一些特殊的值。其中包括了:N=3,欧拉引进了虚数;N=4,费马使用了反证法。N<32,拉梅神父和大名鼎鼎的柯西使用了欧几里德证明的算术基本定理,即正整数因式分解的唯一性。他确信,下面这样的“笑话”不会发生,数学家忙了半天,结果发现现成的简单数学工具就能解决。

二维平面有 N 个点,不在同一直线。将任何两个点连接起来,有 N(N-1)/2 条,某几条线可能重复。证明至少有一条线,上面只有两个点。解答如下:

对每一个点,找出一条直线,离它的距离最近。在所有 N 个“最近距离”中,找出最近的一个以及对应的点(P)和线(原来的连线,不是点到连线的垂线)。这条线上至少有两个点 A 和 B。现在可以证明,AB 上不可能有第三个点(C),如果有的话,P 点的垂线就不可能是“最近距离”。可以分两种情况证明:C 在 AB 之间或之外。

假如 C 在 AB 之外,假定 B 点一侧,可以证明,B 点到 PC 的距离更近。假如C 在 AB 之间,可以证明,C 到PA 或 PB 的距离更近。

证明中用到了以下概念:

(1)点线距离

(2)相似三角形

(3)一个很聪明的策略

最后解出的当然是数学家,不是高中生或初中生。你有没有被气死?


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