對數學的思考

最近因為工作關係，看了一些數學書。
我以TAMU的兩位教授所著的一本小書為例發表一些淺見。
該書名為A First Course in Wavelets with Fourier Analysis.

一 背景

傅立葉分析是所有理工科學生都多少知道一點的，傅立葉分析的主要內容有
傅立葉級數；傅立葉變換等。傅立葉級數是所有學過工科高等數學課程的學生都知道的。
而作為電子工程系的學生，對傅立葉分析的掌握程度基本決定了他的信號處理的水平。

傅立葉分析是調和分析的一個總要分支。最早的三角級數展開是由於解偏微分方程的需要
，在18世紀由法國的工程師兼學者Fourier在其名著 熱的解析理論 中予以詳細討論的。實
際上，三角級數展開不僅在實用中有重大意義，而且對於現代數學的發展，都深具影響。
實變函數論的開創者Lebesgue（1875年生）最早就是通過研究三角級數從而提出明晰的測
度概念並將黎曼積分擴充為Lebesgue積分，從而大大擴充可積函數的範圍的。

三角級數還是產生很多病態函數的溫床。
比如1872年，魏爾斯特拉斯就利用三角級數構造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（對
n＝0，1，。。。求和）。
此函數就是一個處處連續但處處不可導的函數。
而正是對病態函數的研究促成了數學分析的革命。

二 對“分析”的分析

目前國內工科學生學習的數學主要有：
高等數學（主要是18世紀前的一些數學分析的內容，包括一些解析幾何）
線性代數
概率統計
複變函數
積分變換
後四門課的名字很明確，基本反映了內容。
但是高等數學這個名字就顯得非常含混，究竟什麼叫高等數學呢？
實際上正如我前面所說，主要包含一些分析的老的內容。
我現在要問的是，為什麼數學分析叫做數學分析？這個問題若搞清楚，就可以從本質上把
握數學分析的體系，而不是在那裡被動的被胡塗先生帶着做模仿動作了（學數學決不是模
仿！！而是要有高屋建瓴的把握）。

我沿着西方的分析思想，對“分析”二字結合數學分析的內容做一個分析。
如果有人複習數學的話，我下面的一段話對他肯定會大有用處，能否消受，要看自己的造
化了。

分析的英文原文是：analysis
MW字典對其原意的解釋是，
separation of a whole into its component parts.
漢語的分析，我們要分析成兩個字，第一個字是分，第二個字是析。
據金山詞霸。
分的本意是：(會意。從八,從刀。“八”就是分;從“刀”,是以刀剖物,使之分開的意思。
本義:一分為二)
析的本意是：(會意。從木,從斤。用斧子劈開木頭。本義:劈,劈木頭)
這兩個字都是會意字

所以analysis漢語翻譯做“分析”是恰當的。
當然分析一詞還有引申義， “將事物、現象、概念分門別類,離析出本質及其內在聯繫”

有了以上的認識，我們可以來探討數學分析的主要任務了。（正是這些任務使得數學分析
成為一個整體，而不是分立概念的羅列）
從集合，映射的觀點來看（這些都是19世紀，20世紀的一些觀念）
數學分析的主要對象是定義域，值域均是實數集合子集的映射(這種映射基本就是所謂實變
函數的範圍，實變函數是一種特殊的函數，而函數是數集間的映射），所以換句話數學分
析的對象是函數，數學分析也可以叫做函數分析。

對於函數的分析，可以有引申意義上的分析，也可以有本意上的分析。大家多側重於對引
申意義的分析，對本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我們所熟知的引申意義上的分析。

比如研究了四種特殊的函數性質
1 周期性 2 奇偶性 3 有界性 4 單調性。
這四種特性都是幾何上非常直觀的。（在數學分析發展的早期，直觀是指引人前進的很好
工具）
注意到，在中學利用初等的工具研究了六種初等函數（常數，冪，指，對，三角，反三角
）的某些簡單性質（注意簡單二字，初等函數的許多性質用初等方法研究需要相當的技巧
，或者說沒有一般的規律可循，據說阿基米德在求球體的體積的時候，就求過幾個特殊的
簡單積分，但是他當時當然沒有微積分的明確概念，可見利用初等數學的工具解決複雜的
難題需要專家的技巧，而數學家的任務是尋求一類問題的規律，或者說是尋求求解過程的
公式化和機械化）。

實際上，對大多數函數，用初等數學的方法分析，都很難得出深刻的結論。大家可能記得
在高中為了求出一個函數的極值需要多大的技巧。

人類得到比較明晰的極限的概念，花掉了大約2000年的時間，到了牛頓和萊布尼茨的時代
，才有了比較明確（但是離嚴密還差的很遠）的極限概念。正是極限的概念刷新了分析數
學的歷史，自從極限的概念被確立後，微積分的概念才有了比較合理的基礎，這為函數的
分析（數學分析的內容）提供了有力的工具。

有了極限的工具，就可以研究函數在局部和無窮遠處的發展趨勢，這就是從動態的角度研
究函數了。我們知道求極值是對函數分析的重要內容。顯然，了解函數值的變化趨勢，對
求函數的極值肯定是有好處的。有了極限的概念，就可以刻劃函數的發展趨勢。實際上刻
劃像相對原像變化率的一個很有用的工具就是一個特殊的極限－－導數。有了導數，當然
可以繼續研究高階導數。

在有了導數以後，為了溝通函數與其各階導數的性質，就有了中值定理。（我現在還有疑
問，中值定理的出現是否是一種必要性的推動，還是純理性思考的產物），這些中值定理
主要是由法，德兩國人創立。
我們可以看看中值定理提出者德生卒年，這樣可以給我們重要的啟示。（依照邏輯順序排
列）
1 費馬定理 Fermat 1601-1665
2 羅爾定理 Rolle 1652-1719（標準教科書證明利用了費馬定理）
3 拉各朗日 1736-1813（證明利用了羅爾定理）
4 柯西 1789－1857（證明利用了拉各朗日 定理）
5 落筆大 1661－1704（證明利用了柯西定理）
6 泰勒 1685－1731（證明利用了柯西定理）

現在我們能夠看到明確的問題了!
1 從羅爾定理到拉各朗日幾乎用了50年以上的時間（由於缺乏詳細的史料，我們自能根據
生卒年大致分析），從拉各朗日到柯西也大概用了50年時間。
啟發：我們往往驚嘆於數學教材的嚴密和體系宏偉，但是事實證明，就是這幾個中值定理
，就花了人類100年的時間（請考慮世界上研究數學的人的數目），我們所看到的邏輯嚴謹
，周密都不過是對歷史整理後的假相。當然時代進化到21世紀，我們不能用18世紀的速度
要求人類和自己）。

2 落筆大，泰勒出生都比柯西早100年，何以他們提出的中值定理的證明卻利用了未出生的
人的定理呢？
對這個問題，我們可以肯定的是：泰勒的原始證明，落筆大的原始論證都沒有用到柯西定
理！！而現在我們所看到的證明是數學史家在對歷史進行梳理後的產物！泰勒，落筆大所
用的概念肯定比柯西原始，可能還非常不嚴密。

這兩點對我們的總的啟示是，
即使是世界上第一流的頭腦，也難以在短時間內創造非常嚴密的系統的理論。我們中國的
教材在物理，化學上提及了歷史但是在數學上卻忽略了。
當年我在學習數學分析的時候就非常自卑，為什麼別人能夠創造這樣美妙的體系，而我們
就不行。現在終於明白了。

第二點，數學的發展史使我傾向於直覺主義的數學哲學，也就是原始的數學思想，來源於
人的直覺，儘管這些直覺在天才的腦子裡面往往是粗糙的，正如鑽石不經打磨不能耀眼一
樣。我們應該知道（卻沒有被老師告知和教材教知）牛頓的原始的微積分概念是非常含混
的和沒有穩固基礎的。牛頓對無窮小和無限本身就不夠清晰（考慮到他是幾百年前的大哥
，饒了他），貝克萊大主教攻擊牛頓的無窮小概念在哲學上站不住腳，馬克思也抱怨牛頓
對高階無窮小的無端忽略是“暴力鎮壓”。我們所熟知的yipusilon－delta法則是柯西在
牛頓身後幾百年才提出的，而對實數集合連續性的討論是由魏而斯特拉是，cantor等人完
善的，沒有上述理論，牛頓的理論是非常不嚴密的。我們看到的數學大廈曾經經歷了多少
次的危機。甚至到今日，數學的基礎仍存在嚴重的危機！！

三 在數學教材中，除了擺事實（用公里化的方法把文章做得花團錦簇一般）自能使學生成
為可憐蟲，在事後諸葛亮們得整理下，本來令人佩服得天才成了高不可攀的神袛。嚴重打
擊學生的興趣和自信。而對歷史發展進程的整理也歪曲了數學發展的真相，使得歷史發展
的進程被抹煞，本來自然的，可以理解的idea的發展成為高不可攀的絕妙證明。學生成為
一個袖手旁觀者，而不是一個數學發展的見證人和參與者。而我們中國需要的更多的就是
這種開拓性人才！！

有了微分，按照慣例，就應該考慮其逆運算。這就是所謂不定積分。這是容易理解的。對
初等函數的研究也是順理成章的。

許多學生不都把定積分和不定積分混為一談，認為定積分不過是對不定積分的求值。但是
如果概念清晰的話。

不定積分應該是微分的逆算子。這是邏輯上的必然延續。
但是定積分（嚴格說是黎曼積分）可以認為是部分和的極限，這種積分可以認為是從幾何
直觀上求解實際問題時得出的。這樣看來，利用部分和極限求級數的和就本來不是一種技
巧，而是當然了）。

我們知道，黎曼積分對可積函數的要求是比較苛刻的，由於在歷史上，先研究的函數都是
一些比較漂亮的函數，所以在當時，並沒有問題。但是樂貝格出世後，卻在逆反心理的引
導下，研究那些性質不那樣漂亮的函數（比如狄里赫萊函數，還有上面提到的維爾斯特拉
斯提出的病態函數。）這樣就使得測度的概念進一步明晰。對區間長度的衡量由一個原始
的概念過渡到（進化到）集合測度的概念。（cantor的集合論研究大概和樂貝格相距不遠
）

這就是積分的概念。

在積分概念後，數學分析研究了級數。（實際上由於數列是一種特殊形式的函數，定義域
為散點，級數可以認為是積分概念的離散形式）。

對級數的研究分為常項級數和函數級數。其中非常總要的就是三角級數。

實際上在這裡，我們可以在分析的本源意義上了解為什麼分析叫分析。
回到MW字典的定義：
separation of a whole into its component parts.
我們可以在原意上理解這句話。
數學分析的對象是函數。我們把上述定義中的a whole換做函數function看看。
separation of a function into its component parts.
事情清楚了，數學分析在本源意義上的理解就是對函數進行分解，分解成需要的部件。

我們研究了冪級數，就是將函數展開成多項式的形式的函數分量（或部件）的和。比如泰
勒級數，從中值定理就很自然得出。這在計算數學上也是有意義的。因為冪級數大多收斂
很快，而且易於用算法描述。

研究了冪級數後，又研究了三角級數展開，這次也是沒頭沒腦，為什麼要展開呢。傅立葉
的熱學分析表明這樣展開是有益的。我們可以看到三角級數的展開出奇的簡潔，就像神話
一樣！！！難道這些傢伙就這麼聰明？他們怎麼曉得這麼搞？（同樣是歷史的歪曲令人費
解，傅立葉之製造三角級數是從研究偏微分方程起步的，在那種特殊的背景下，相對還是
比較自然的）。

其實數學分析的主要內容就是這些（微分方程是另外一門單獨學問），多重積分實際上只
是上述基本想法的自然衍生而已，大多數問題二流數學家足以完成。

我們現在知道數學分析是對初等數學的一次抽象，現在要問的就是對數學分析的再次抽象
的結果如何，這就要求我們把數學分析中的對象仍看作特例，去尋求更一般的規律。

以傅立葉級數為例。如果把三角級數展開看作特例，我們可以抽出三角級數展開的關鍵性
質－－正交性。在這種宏觀視角下，我們可以把函數看成集合或空間中的點，而把級數的
正交標準基函數看作直角坐標。從而把函數的三角展開看成是對點在正交系中求坐標。（
傅立葉係數就是坐標）

這樣函數本身就成為了一個點，可以與複平面的向量類比（我們在這裡又要感謝法國的天
才笛卡兒）他天才的將坐標系設計成正交的。為什麼呢？）我們現在可以回答這個問題，
為什麼直角坐標系是直角的，或者說是正交的分解。

在內積空間中可以很容易的看出這個問題。正交系相對於一般的基而言使用起來是無比的
方便。

我們看出正是從數學分析中的特殊概念進行進一步抽象，我們得到了更好的理解，由天才
構做的特例中導出一般的概念，是另一類數學家（稱之為整理家）的重要工作。

在20世紀，法國的數學繼續稱雄全球，其中的布爾壩基學派就是能夠從抽象的角度整體思
考數學的一群年輕數學家。我們容易發現，法蘭西民族的優秀的抽象能力和總多的天才人
物為數學的發展做出了巨大的貢獻。這一貢獻，除了德國和歐陸的其他幾個國家能夠比擬
以外，連英國都不能夠比擬。

我們說，第一流的數學家是那些能夠提出原始概念，開創新的思路的科學家。
比如
歐氏幾何之於歐幾里的；
微積分之於牛，萊；
解析幾何之於笛卡兒；
拓撲學之於龐卡來；
泛函分析之於樂貝格，banach。
cantor之於集合論。
群論之於伽羅華（真正的天才！！！同樣是偉大的法蘭西人）。
同樣那些具有非凡直覺的數學家也是第一流的
比如高斯，黎曼（猜想）等。

很遺憾的，我們中國的本土數學家大概都是在西方人創造的數學空間中去工作。
有些人能解決西方人出的題目，但是很少有人能開創新的局面。
陳省身先生希望21世紀中國能夠成為能與西方諸重要國家平等對話的數學大國。
在我們國內的普遍教育模式下，我認為這個希望在本世紀上半葉實現還是有困難。我們現
在的這種教材是培養中才使用的，而對於培養上才則不合理。
不僅內容陳舊（現在在研究生層次開設泛函分析課作為對微積分的延續，但是鮮有老師能
夠講的精彩，學生能夠真正領會實質的），而且教育方法嚴重失敗。教材成了定理的羅列
。而對定理的邏輯關係，來龍去脈，根本不提，完全是從應用的角度去教學，根本沒有指
望學生能夠參與數學發展的進程

實際上，現在日本的數學比中國要好。日本數學家裡面得大獎的很不少。
（不過日本人現在也沒有出現能開創新學科的人）

這種局面反映在計算機科學領域也是這樣。對操作系統的研發是由西方人作。對高級語言
的定義中國人無緣置喙。中國人忙於學習用別人定義的高級語言和提供的編譯器，開發工
具，在別人的操作系統和開發平台上做應用級為主的開發。（即使現在所謂的龍心，漢芯
都出世了，但是我們大家都知道這不過是一些海龜從他們的國外老師的實驗室裡面clone過
來的，在概念上並無重大突破）。

在信號處理領域，我們中國人做信號處理也有幾十年了。就沒有一個人能夠在看出傅立葉
分析不足的前提下，做出小波分析的雛形。而在不同領域西方人在20世紀提出大約17種不
同的小波雛形。

如果繼續延續這種狀況，我可以肯定的說，這個民族沒有希望！！
創新不是空喊，創新需要環境。
培養具有創新精神的大學生，我們需要有好的教授和教材。我們需要有具有挑戰性的問題
。我們需要擺脫針對就業壓力而學的所謂實用技術（糊口技術）（起碼針對部分學生應該
如此）或埋頭做考研的準備。

我們需要一流教授講基礎課，我們需要給一流研究者提供衣食無憂的條件，讓他們的頭腦
去考慮一些有價值的問題，不要讓奔馳車拉大白菜了！！

Appendix.

1。《隨機過程論》（錢敏平，龔光魯）
此書晦澀難懂，錯誤之處甚多。讓人對隨機過程這門如此有用，思想
如此深刻的學科理解為一堆測度論，泛函，亂七八糟東西的堆砌。
沒有突出該突出的東西，可能出發點是好的，不過我沒有學到多少本質
上有用的東西。可能他們自己看起來是高屋建瓴，可惜學的人是不得要領。

2。《應用隨機過程》（同上）
此書號稱不用測度論，還有“應用”二字，一樣垃圾。
對應的極品好書是Ross的"Stochastic Process"。

國內的概率統計教材除了嚴加安的測渡論, 王壽仁的概率論和隨機過程,
其他的真是越看越垃圾. 國外的這方面優秀教材非常好.

總體來說我對國內的應用概率論的教材是很悲傷的。大多是給
工科學生和經濟學等專業的初等概率和統計的書，千篇一律，
和高中的高考輔導教材一樣濫竽充數。而那些高深的專業分支
領域的書寫的極其難懂。

真正有思想有特色的書基本沒有，北大王仁官的初等概率論教材
最多最多差強人意，另外值得一提的是何聲武的一本大專自學教材，
倒是寫的有些滋味。不過，和Ross的書比起來，還是慘不忍睹。
當然，這裡面有學科原因。概率統計的內容極其廣泛，學生的
背景更是各不相同，針對特定群體寫好教材或者講好課都是很困難的。