证明：

假设

n^4 + 2*n^3 + 2*n^2 + 2*n + 1 = m^2       (1)

其中，m是一个整数。那么

n^4 + 2*n^3 + 2*n^2 + 2*n + 1 =n^2(n^2+2n+1) + n^2+2n+1=

(n+1)^2(n^2+1)=m^2

(n^2+1)=m^2/(n+1)^2

sqrt(n^2+1)=m/(n+1)

这说明，sqrt(n^2+1）是有理数。令

sqrt(n^2+1)=p/q            （2）

其中，p,q是即约分数，或者说互素。

先证明，q不等于1。如果q=1，从（2）得出 p^2-n^2=1。这是不可能的，两个整数的平方差不可能是1。所以，q不等于1。从（2）又得出

n^2=(p-q)(p+q)/q^2               (3)

因为p,q互素，q中的任何素数因子即不能整除(p-q)也不能整除(p+q)。所以(3)的右端不可能是正数。这矛盾，所以（1）不成立。