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万维读者网 > 灵机一动 > 跟帖
证明数根问题
送交者: zhf 2020月01月11日14:59:29 于 [灵机一动] 发送悄悄话
回  答: 趣味的数学-214+春节趣味题 gugeren 于 2020-01-05 12:04:12

一个正整数 

a(n-1)a(n-2)...a0         (1)

如果把a(n-1)移到个位,等于把a(n-1)10^(n-1)变成a(n-1)。

a(n-1)10^(n-1)-a(n-1)=a(n-1)(999..99)。所以,

把a(n-1)10^(n-1)变成a(n-1)也可以看成,在a(n-1)10^(n-1)的基础上,减去若干个9构成。求(1)根数的第一步是算

a(n-1)+a(n-2)+...+a0         (2)

这等于(1)减去若干个9。

如果(2)不是个位数,再做类似计算,也就是再减去若干个9。所以,

(1)的数根就是(1)减去若干个9,使得结果是个位数。

所以(1)的数根可以写成

a(n-1)a(n-2)...a0 - 9k         (3)

(3)是个位数。

另一个正整数 

b(n-1)b(n-2)...b0                (4)

其数根可以写成

b(n-1)b(n-2)...b0 - 9m        (5)

(1),(4)的数根之和是(3)+(5),如果有进位再减9。得

a(n-1)a(n-2)...a0 + b(n-1)b(n-2)...b0  - 9i   (6)

(6)是个位数。

5)

(1)+(4)的数根是

a(n-1)a(n-2)...a0 + b(n-1)b(n-2)...b0  - 9j   (7)

(7)是个位数。结果与(6)相同。所以

两数之和的数根,等于此两数数根之和。

((1)-9k)((4)-9m)=(1)(4)-(4)9k-(1)9m+9k9m=(1)(4)-9i

由此,可以证明两数之积的数根,等于此两数数根之积。

其推论:完全平方数的数根,等于其平方根数根的平方。

一个正整数的数根可以是1,2,3,...9。经过枚举,这些数根的平方的数根

是1,4,7,9之一。


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