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送交者: zhf 2020月01月13日15:36:44 于 [灵机一动] 发送悄悄话
回  答: 趣味的数学-219 gugeren 于 2020-01-12 22:36:20

先假设P点在X轴上,除了垂直X和平行X的弦,其它的同长度的弦有两个方向,斜率大于零和斜率小于零。先解斜率大于等于零的。

现在旋转坐标轴,使得圆的方程为

x^2+y^2=15^2

在X轴上取一点x, 0<=x<=9。过x做垂直X轴的弦。在第一象限,这个弦上一定有一点与原点的距离是9。这个弦长是

2sqrt(15^2-x^2)     (1)

为了弦长是有理数(整数),15^2-x^2一定要配成完全平方。

x=0: 15^2-x^2=15^2,弦长=30

x=9: 15^2-x^2=12^2,弦长=24

又因为x是实数,调整x (0<x<9),一定能让

弦长=25, 26, 27, 28, 29

所以(1)的整数解是

24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

考虑到另一个方向,问题的解是

24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

25, 26, 27, 28, 29

有12条长度为整数的弦通过P点。


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  12条对 /无内容 - gugeren 01/13/20 (0)
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