由

m^3 + 6*m^2 + 5m = 27*n^3 + 9*n^2 + 9n + 1

得

m(m+1)(m+5)= 27*n^3 + 9*n^2 + 9n + 1   (1)

无论m是奇是偶，左端一定有2因子。所以右端的n一定是奇数。

令n=2k+1代入，右端得

2(108k^3+180k^2+108k+23)   （2）

右端只有一个2因子，那么，m一定是偶数。同时得出k不等于0，n不等于1，因23是素数。

令m=3n-1,代入(1)且变形右端，得

(3n)^3+3(3n)^2-4(3n) = (3n)^3+(3n)^2+3(3n)+1        (3)

当n>1时，左端大于右端

令m=3n-3,代入(1)且变形右端，得

(3n)^3-3(3n)^2-4(3n) + 12= (3n)^3+(3n)^2+3(3n)+1        (4)

当n>1时，左端小于右端。

认为没有正整数解。