已知两个正整数x与y的和是5432，它们的最小公倍数是223020。求x和y。

设d是x,y的最大公约数，那么，

x = d x’, y = d y’                    (1)

d x’ + d y’ = 5432

d(x’ + y’) = 5432                   (2)

d x’ y’ = 223020                    (3)

把223020 因式分解，得到

223020 = 2(2)(3)(3)(3)(5)(7)(59)        (4)

把5432 因式分解，得到

5432 = 2(2)(2)(7)(97）                          (5)

(4),(5)因子集合的交集是

2, 2, 7                                      (6)

现在证明， d = 2(2)(7) = 28                    (7)

有没有可能，x’有因子k，(x’ + y’)也有因子k,又不属于d呢？实际上不可能。如果k整除x’, k整除(x’ + y’), 那k一定整除y’, k一定属于d。

(7),(3) 得到

x’ y’ = 223020/28 = 7965            (8)

(7),(1) 得到

x’ + y’ = 5432/28 = 194                (9)

解联立方程得

x’=59

y’=135

代入(1)得

x = 1652

y = 3780