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不转动的陀螺挂在导读好长时间了,我试一下
送交者: 粱远声 2014年11月02日13:57:18 于 [灵机一动] 发送悄悄话
不转动的陀螺
假设陀螺体是很薄的圆盘,半径为R,质量为m, 质地均匀。中轴
细长质地坚硬,但质量忽略不计。中轴底端和平面接触的一点
为O点。O点到圆盘的距离是a。O点在一个小坑中,如果陀螺倒下,
中轴底端始终在小坑中。初始条件:陀螺直立,静止不动,在t=0的
一刻,陀螺向某个方向有一个很小的倾角。求多长时间后,陀螺倒
在底端平面上
试解:
因圆盘半径为R,O点到圆盘的距离是a,陀螺倒在底端平面上的那一刻,陀螺中轴与底端平面的夹角是 arctan(R/a),陀螺转过的角度是 
          E = pi/2 - arctan(R/a)        (1)
当陀螺向下倒时,有两个转动。一个是陀螺重心围绕O点转动,一个是圆盘围绕某个直径的转动。因为是联动,这两个转动的角速度相同。所以总惯量是这两个惯量之和
          I = ma^2 + mR^2/4              (2)
假设在t = t时,陀螺中轴转过的角度是e, 此刻,陀螺所受的力矩是
          T = mga sin(e)                 (3)
又假定,此刻陀螺中轴的角速度是 
          w = de/dt                        (4)
我们有
         T = Idw/dt                        (5)
变形:
         T = I(dw/de)(de/dt)
         Tde = Iwdw
         mga sin(e)de = Iwdw
两边从0到e积分后有
         mga(1-cos(e)) = Iw^2/2
         (2mga(1-cos(e))/I)^0.5 = w = de/dt
         dt = de/[(2mga(1-cos(e))/I)^0.5]
         t = Int(0,E)[de/[(2mga(1-cos(e))/I)^0.5]]

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