| 看看妖妖贴的“科普自行车轮之神奇”错在哪里 |
| 送交者: 粱远声 2016年08月06日11:53:34 于 [灵机一动] 发送悄悄话 |
看看妖妖贴的“科普自行车轮之神奇”错在哪里下面的视频展示了陀螺的神奇效应 视频链接： 把自行车轮子转动起来，达到相当高的转速，然后用一根绳子吊这自行车轴的一端， 转动的轮子居然保持了横在空中重心悬空。如果轮子不是转动的，结果我们都知道， 轮子会倒翻过去，为什么转动的轮子能这样悬着呢？ 为了简化问题，我们建立一个数学模型：假设轮子的质量都集中在轮圈上，车轴和 车条的质量忽略不计，车轴与车轮之间没有摩擦。轮圈的质量为 m ，轮子半径为R， 轴长为L。轮圈质点转动的线速度是V。把车轴与绳子链接的那一端，接在直角坐标 系的原点，车轴与X轴重合。车轮质心的坐标是（L，0）。从原点看轮圈，轮圈按 顺时针转动。车轴可以向任何方向无摩擦转动。把XY平面看成纸面或屏面。 假设由于重力的原因，轮圈的质心要沿XY平面以角速度a下垂。在 t = 0时，轮圈质心 的坐标是(L，0）， 质心速度在X轴上的分量为0。现在在轮圈上取一个离我们最近的 质点，质量为dm, 在XY平面上的投影坐标为(L, 0)，与轮圈质心坐标重合。在 t = dt 时， 轮圈质心的X坐标是 L - Ladt adt/2 dm的X坐标是 L - Ladt adt/2 - Vdt adt dm在X方向上的位移是 dx = Ladt adt/2 + Vdt adt 设dm在X方向上的加速度是k。那么我们有 dx = k dt^2/2 解得 k = La^2 + 2Va (1) 式中La^2 是向心加速度，2Va是科氏加速度，方向： -X。 在 t = 0 时，在轮圈上取一个离我们最远的质点做类似的分析，我们能够得到dm在X 方向上的加速度是 k = La^2 - 2Va (2) 式中La^2 是向心加速度，-2Va是科氏加速度，方向： -X (1), (2)中的向心加速度是同向的，不产生翻转加速度。但是科氏加速度是反向的，要 产生翻转加速度。这个翻转角加速度是 2Va/R。 (3) 如果我们去其它的质点对做分析，得出的翻转加速度是一样的。这个分析从略。 从(3)得知，如果我们要让轮圈的质心沿XY平面以角速度a下垂，外力必须为轮圈提供一 个翻转角加速度，其量值由(3)给出。其方向，如按右手定则是-Y方向，通俗的讲是向纸 面外翻转。但是，事实是外力不能提供这个角加速度。所以实际情况是轮圈的质心沿XY 平面以角速度a下垂，同时减去这个角加速度。也等价于加上一个同量值，方向相反的角 加速度。我们还可以认为，轮圈的质心沿XY平面以角速度a下垂产生了一个以a为参考方 向的角加速度，其方向，如按右手定则是Y方向，通俗的讲是向纸面里翻转。这是一个微 变过程：轮圈质心下垂的角速度产生了向纸面里翻转的角加速度，这角加速度导致角速 度，向纸面里翻转的角速度产生向上翻转的角加速度。这个角加速度被重力产生的力矩 抵消。结果是车轴以水平姿态，以原点为中心，按逆时针方向转动（俯视）。 现在看看“科普自行车轮之神奇”中是怎样用向心力计算翻转加速度的：在 t = 0时，轮圈离我们最近质点的向心加速度计算为 k = (V + La)^2/L = La^2 + V^2/L + 2Va (4) 在 t = 0时，轮圈离我们最远质点的向心加速度计算为 k = (V - La)^2/L = La^2 + V^2/L - 2Va (5） 这两个公式与(1)，(2)比都多了一项V^2/L。所以用这个方法算的加速度是不对的。但是 用这两个公式计算翻转角速度，却能得到与(1), (2)相同的结果。 |
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