高考物理附加题：用角动量解释陀螺不倒是蒙事的
请问，如果陀螺转速为0，是不是进动要无限快。好，就算将这个极端情况去掉，如果
陀螺转速很慢，比如一分钟一转或者24小时一转，陀螺会倒下还是以很快的速度进动？
显然当陀螺转速很慢，陀螺要倒下而不是以很快的速度进动而保持不倒。
图：用角动量解释陀螺不倒是蒙事的.png
所以基本上全世界的物理老师都没学懂，随便拿个碰巧对上答案的说法来蒙事欺骗
学生的。又想了一下，陀螺仪向 F 方向倒下去，与向 τ 方向平转过去，角动量的变化都是
ΔL = r X Δv 。只不过 r 不一样而已。得到的大小和方向是一样的。嘿嘿。亏得
本妖没去北大物理系或什么台大物理系，不然牠们的教授将像华南工学院计算机系
的教授一样被问得答不上来。
生不逢爱因斯坦，长夜漫漫何时旦。高考物理附加题：角动量变化量都是 ΔL ，为啥
有时（转速慢时）陀螺选择倒下，有时（转速快时）
陀螺又选择不倒下而作水平方向旋转（进动）？
用角动量解释陀螺不倒是蒙事的吗？
用角动量解释陀螺不倒用的是公式 dM/dt = T,其中M是角动量, T是外加力矩。稳态条件下，用的公式是 d(wI)/dt = T，其中I是转动惯量，w是转动角速度。是不是蒙事，稍后再做结论。但是这样讲陀螺肯定是不容易让学生懂的。
那么怎样讲解才能使学生易懂呢？当然是从科里奥利加速度入手才能讲的比较透彻。
现在就以题中自行车轮陀螺模型为例讨论这个问题。
假设轮子的质量都集中在轮圈上，车轴和车条的质量忽略不计，车轴与车轮之间没有摩擦。轮圈的质量为 m ，轮子半径为R，轴长为L。轮圈质点转动的线速度是V。
假设初始条件是车轴水平，底端接在吊绳上，以角速度a下垂。按照科里奥利加速度公式，轮圈质点加速度是 2a x V, 翻转角速度是 2a x V/R = 2a x w。这是为了保证以角速度a下垂，外力应该给的角加速度。因为没有这个外力，陀螺以a为参考方向，以力矩 2w x a(mR^2/2)翻转。其中，mR^/2翻转转动惯量。经过一系列的微变过程，车轴以水平姿态，以绳接点为中心转动。这时，a的方向已经变了。假如这时进入稳态，翻转力矩应该和外加力矩相等：
2w x a(mR^2/2) = mgL
w x a(mR^2) = mgL (1)
陀螺的旋转惯量是 I = mR^2，代入上式得
wI x a = mgL (2)
d(wI)/dt = wI x a
经比较得到
d(wI)/dt = mgL
d(wI)/dt = T (3)
对于一般的陀螺稳态，（3)是近似的。但对于陀螺中轴水平的情况（3)是精确的（只有水平的角动量是变化的。车轮绕绳接点转的角动量aL^2m是常量。车轮以直径为轴的角动量aR^2m/2也是常量）。从 (1)得到的进动角速度是
a = mgL/(wI) (4)
那么如果陀螺转动角速度几乎为0，是不是进动要无限快。如果陀螺转动角速度很慢,陀螺会倒下还是以很快的速度进动？显然当陀螺转速很慢，陀螺要倒下而不是以很快的速度进动而保持不倒。
这个问题要这样解释。(1),(4)是陀螺稳态表达式。假设w很小，初始状态车轴水平。陀螺的外加力矩mgL, 下垂惯量L^2m + R^2m/2, 下垂角加速度
da/dt = mgL/(L^2m + R^2m/2)
得到a后,翻转力矩 2w x a(mR^2/2)很小，不能使陀螺进入水平进动状态。所以就不能用(4)来描述进动角速度。
(4)是陀螺稳态表达式。用它解释陀螺不倒是不合适的。但是用 dM/dt = T 解释陀罗的全过程是没有问题的。
