我也谈谈平行电容器介质受力问题(三)

平行板电容器极板间放一块介电常数为e 的固体介质。已知平板电容器的极板长度为 
L，宽度为 w ，极板间距离为 h ，极板间加电压 u ，如果现在介质已插入极板间
部分的长度为x，求要将介质继续往里插得用多少力？如果其他条件不变，只是断开电
池，继续往里插入要用多少力？

先假定介质的宽度长度与极板相同。假定有介质极板部分的电荷密度是常数，
有介质极板部分的电荷密度也是常数。
一般教科书上虚功求力的做法是 F = d(Q^2/2c)/dx             (1)
其中，c 是电容容量，Q 是电容电量。不考虑边缘效应，电容器容量的模型是
c = (ewx + e0w(L-x))/h                             (2)
(2) 代入 (1) 得到
F = Q^2h(e-e0)/(2w(e0(L-x)+ex)^2)                      (3)

把介质极化看成是偶极子的有序排列，介质区域微体积dv在电场中受到X方向的力是
dFx = dv(e-e0)E .(d/dx, d/dy, d/dz)Ex                   (4)
其中，E是场强，Ex是E在X方向上的分量，(e-e0)E是极化强度
(4)经过整理后变成
dFx = dv(1/2)(e-e0)d(E^2)/dx                         (5)
用S(domain)表示积分符号与区域
Fx = S(v)dv(1/2)(e-e0)d(E^2)/dx                       (6)
式中 v 是介质的区域。
Fx = S(0,h)dz S(0,w)dy S(-(L-x),x)[(1/2)(e-e0)d(E^2)/dx]dx 
E^2(x) = (u/h)^2, E^2(-(L-x)) = 0                     (7) 
Fx = (1/2)w(e-e0)u^2)/h = Q^2h(e-e0)/(2w(e0(L-x)+ex)^2)     (8)

(8)与(3)相同。这似乎印证了（3）的正确性。但是如果我们考察（8)和（3）
的假定，就会发现两者的假定是不同的。

（A）如果我们假定电容器两极板之间的场强是常数，且垂直于极板，外
面的场强为零。也就是说没有边缘效应。虚功求力模型（3）的结果没有变。
但是偶极子在电场中受力公式（8）的结果却是零（电容器两极板之间场强
垂直于极板，外面的场强为零，推导的结果就是零）。

（B）如果我们假定电容器两极板之间的场强几乎是常数，且垂直于极板，
外面的场强逐渐减小。也就是说有边缘效应。虚功求力模型（3）的结果
没有变。但是偶极子在电场中受力公式（8）的结果只有在电容器外介质
长度为充分大的情况下，才与（3）相等。

模型（3）没有体现介质在电容器外的长度。如果介质在电容器外的长度
很小，虚功求力模型（3）的结果没有变。但是偶极子在电场中受力公式（8）
给出的结果几乎是零（E^2(x) = (u/h)^2, E^2(-dx)接近(u/h)^2）。
如果介质在电容器外的长度较大（L/3)，又不是充分大，虚功求力模型（3）
的结果没有变。但是偶极子在电场中受力公式（8）给出的结果比（3）小
（E^2(x) = (u/h)^2, E^2(-L/3)大于零）。

从上面的分析看，（8）的结果给出介质偶极子在电容器电场中受力的上限。
虚功求力模型（3）的结果比实际要大。

如果我们对虚功求力模型做如下修改: 假定电容器两极板之间的场强接近
常数，在中心场强最大，从中心到边缘逐渐减小。介质在电容器外的长度
越大电容越大。从能量角度看，x在中心，推进dx,比x偏心，能量变化大。
x在同一位置，推进dx,介质在电容器外的长度越大，能量变化越大。再
考虑介质损耗。

这样，虚功求力模型，介质偶极子在电容器电场中受力模型，没有介质区
域的自由电荷对介质上极化电荷的作用力模型才有可能统一起来。

如果介质的长度改为L/2，介质全部插入，且左边空隙的长度比右边空隙
的长度小。那么按照介质受力是没有介质区域的自由电荷对介质上极化电
荷的作用力假设，介质受到一个向右的力。介质偶极子在电容器电场中受
力模型,因介质右端点的场强大于介质左端点的场强,给出一个向右的力。
改进的虚功求力模型,因介质右端点推进dx,能量变化大(负的),介质左
端点推进dx,能量变化小(正的),给出一个向右的力。