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讨论一下两种比重不同,不相溶解的液体放在匀速旋转的桶里,每种
送交者: 岁月河山 2017年03月10日13:33:49 于 [灵机一动] 发送悄悄话

讨论一下两种比重不同,不相溶解的液体放在匀速旋转的桶里,每种液体的表面曲线(面)方程。 

首先要假定液体任何质点对桶轴的角速度都相等。角速度 = w。轻液体的密度 = k1,重液体的密度 = k2。重液体的表面曲线方程为y2。只有轻液体放到空桶里的表面曲线方程为y1。

根据已经解过的水银桶问题,

 y1 = w^2x^2/(2g)+C                                                   (1)

把两种液体放到桶里后,轻液体垂直厚度没有变。先在讨论y2。

把桶放在直角坐标系中。水桶中轴与Y轴重合。水桶底的圆心与原点重合。XY平面上重液体面的高度用y2(x)表示。
用Z=0的平面和Z=dz的平面把水银割成薄片。再用X=x的平面和X=x+dx的平面把薄片割成细条。其中,x, x+dx都小于水桶的半径。细条的体积是dxdzy2(c)。其中c是x, x+dx之间的某点。细条的质量 dm = dxdzy2(c)k2。dm受到的向心力是

f = dxdzy2(c)kw^2c2
式中c2是细条的质心。细条左面受到的压力
f(x)= S(0,y2(x))[dz(k1gy1(x) + k2gh]dh = dz(k1gy1(x)y2(x) + k2gy2^2(x)/2)
细条右面受到的压力f(x+dx) = dz(k1gy1(x+dx)y2(x+dx) + k2gy2^2(x+dx)/2)
由f(x+dx) - f(x) = f, 得到
dz(k1gy1(x+dx)y2(x+dx) + k2gy2^2(x+dx)/2) - dz(k1gy1(x)y2(x) + k2gy2^2(x)/2) = 
dxdzy2(c)kw^2c2
令x趋近于0,有c->x,c2->x,并化简后得
k1((y1/y2)dy2/dx + dy1/dx) + k2dy2/dx = k2w^2 x/g        (2)
把(1) 代入 (2) 后,就是只有y2和x的微分方程. 这个微分方程不容易找到解析解。假设用数值方法解出y2,就是重液体的表面曲线方程. 而y2+y1 就是轻液体的表面曲线方程.

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        不难  /无内容 - 胡骑来 03/12/17 (4)
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