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证明“两个实数之间必定还有一个实数”
送交者: 远景城 2017年04月26日10:31:26 于 [灵机一动] 发送悄悄话

证明“两个实数之间必定还有一个实数”

这个问题要从实数的定义问题谈起(先谈正实数)。长话短说,假定有理数的
定义已经有了。有理数是一个整数和一個非零整數的比。

如果两个整数相除得到一个不以9为循环节的无限小数,这无限小数在某位截断,
就得到了这两个整数相除所表达的有理数的不足近似值。在不足近似值的末位
加1就得这个有理数的盈余近似值。如果两个整数相除得到一个以9为循环节的
无限小数,这无限小数在某位截断,就得到了这两个整数相除所表达的有理数的
不足近似值。假设有理数的运算规则已经定义。

不能用两个整数之比精确表达的,且能与有理数比较大小的数被称作无理数。

对任何不能由两个整数相除所产生的无限小数,在某位截断,就得到了这无限小
数的不足近似值。在不足近似值的末位加1就得这个无限小数的盈余近似值。

我们提出一个公理:任何不是由两个整数相除所产生的无限小数,其不足近似
值和盈余近都夹一个唯一的无理数。这个无限小数称这个无理数的伴随小数。

(1)如果 a,b 是两个不相等的有理数,(a+b)/2就是这两个数之间的实数。
(2)如果 a,b 是两个不相等的无理数,它们的伴随小数一定不等。从高位
往低位搜索它们的伴随小数,一定能找到第一个不相等位。假设a的伴随小数
这位大于b的伴随小数这位。把a的伴随小数从这位后面截断,得到a的不足近
似值。从这位往低位搜索b的伴随小数,一定能找到第一个不是9的位。把b的
伴随小数从这位后面截断,再在末位加1,得到b的盈余近似值。a的不足近似
值大于b的盈余近似值,且都是有理数。它们的算数平均值就是在这两个近似
值之间,也在a,b之间。
(3)如果 a是无理数,b是有理数,证明与(2)类似。

上述证明假设a,b都是正的。a,b都是负的,a,b一正一负的证明类似。

这个问题属于实数论,用极限做是不妥的。当然,极限论的基础问题用导数解
也是不妥的。


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