討論移動的帶電粒子之間庫侖力的相對論效應。

問題：

假設在X軸上有兩個帶電的粒子，靜止質量都是m，帶電量都是q（正的）。兩個粒子之間的距離是r。在t = 0 時，兩個粒子都有Y方向上的速度v。有人說，兩個粒子都受到庫侖力 q^2/(4pi e r^2）（斥力）和磁場力（引力）。還有人說，粒子之間磁場力（引力）是不存在的。兩個粒子只受到狹義相對論效應的庫侖力。到底哪個說法正確？

網友有哲已經解過這個問題了，我想做一個簡單的解。

定義一個坐標系XY，假設不動，把它稱作靜系。定義一個坐標系X'Y'，相對靜系沿OY以速度v運動，把它稱為動系。在t = 0時，YY'重合，XX'重合。

在動系，在時刻t'，右邊粒子的坐標是x'。

在靜系，在時刻t，右邊粒子的坐標是x。

在動系：粒子沒有Y'方向上的速度，只受庫侖力F，在X'方向的加速度是

d^2x'/dt'^2 = F/m                        (1)

在靜系，判斷動系，鍾慢，尺未縮：

dt = dt'/sqrt (1 - v^2/c^2);  dx = dx'                  (2)

在靜系，判斷右邊粒子的加速度：

dx/dt = (dx'/dt')sqrt (1 - v^2/c^2)

d^2x/dt^2= (d^2x'/dt'^2)(1 - v^2/c^2)                 (3)

因為靜系的鐘快，判斷出的加速度比動系的小。靜系看到的加速度應由（F-f)/m提供：

d^2x/dt^2=(F-f)/m                                     (4)

式中f是粒子之間的引力。

(4),(1) 代入（3）得到

（F-f)/m = (F/m)(1 - v^2/c^2)

f = F v^2/c^2

因為c^2=1/(eu)，得到

f = u q^2 v^2/(4pi r^2)

這恰好是靜系粒子間磁場力的表達式。