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暗示的力量(2)
送交者: 零加一中 2019年03月01日12:37:33 于 [灵机一动] 发送悄悄话

《华尔街数学》中,有一篇《暗示的力量》,我用具体事例说明,“暗示”在科研中,也有着重要的作用。

第一个例子是 Ising 模型,在1925年由 Ising 提出后,直至 1944 年才由 Onsager 解出。在这之后,没过几年,那些原来死路一条的方法,犹如枯木逢春,一个个殊途同归的严格解像雨后春笋似地冒了出来。我知道的就有四种, Kaufmann 的矩阵代数,Fisher 的(量子力学)产生湮灭算符,Percus 的排列组合方法,还有一种是 Dimer,作者记不得了。

第二个例子是集体震动模式(Collective Modes),1955年由Bohm Pines 提出,几十年毫无进展。上世纪80年代末,AT&T 贝尔实验室的数值模拟大师 Frank Stillinger 设计了一个极为精巧数值模拟实验,“证明”严格解是存在的。他自己无法解决,就向我的博士后导师,上面提到的 Percus 求助,结果我和 Percus 1991年将这问题在一维解出,取得36年后零的突破。

这两个超难题目有一个共同点,在有人“暗示”有解之后,很快就解出了。在这之前,就是漫漫长夜,根本看不到一丝曙光。这两个例子应该属于阳春白雪,这儿我来两个下里巴人的例子。

复旦大学《数学分析》下册有一道题目。有一圆球 X2 + Y2 + Z2 = 1。另有一平面X + Y + Z = 0。两个面的交线密度为X2,问交线质量多少。我在大一自学时遇到此题,不会做,是请数学系一位老师帮忙做出来的。老师用的是第一类曲线积分的标准方法,逐步投影做出的,功力之强使我佩服得五体投地。十年后,在取得博士学位前后,我突发奇想,十年前这道积分题,可根据对称性很容易解出。在这个圆环上质量密度为X2Y2,或Z2,质量是一样的。所以我们只需要考虑质量密度为X2 + Y2 + Z2  的圆环,把结果再除以 3 即可,2 π /3。又过了20年,大约是 2008 年,我把这题贴在万维网,考考大家。好久无人揭榜。终于有一天,一位高手给出了答案,同时将了我一军,如果平面是AX + BY + CZ = 1,圆环质量是多少。这位网友办事严谨,不像是无解的恶作剧。就是说,是一道高级“回家作业”。很显然,他不是要我们用标准的投影方法来解,而且这些 ABC,怎么个投影法。在此“暗示”的激励下,经过大约一星期的绞尽脑汁,我终于解出

π (B2 + C2) / (A2 + B2 + C2)

当这位网友看到此题居然被解出,估计是心有不甘,问我是做出来的,还是脑筋急转弯猜出来的。我告诉他,先考虑  X-Y 平面,线密度X2。然后将平面沿 Y 轴转一角度 。。。高手过招,一个回合就够了,他就此打住,没再追问下去。这道伴随了我整整 30 年的积分题,从原来老师的标准解法,到10年后自己的“聪明”解,到30 年后经过暗示而画下的完美句点,确实是“暗示的力量”这个大标题的绝妙注释。我是金庸迷,将这个故事定名为《三十年磨一剑》,收录于《华尔街数学》。

第二个例子是我今天早晨的战果。约两星期前,一网友贴出如下题目。有一均匀硬币,A  抛掷 5 次,B 抛掷 6 次,B 得到正面多于 A 的几率是多少?这题不难,打开Excel,一会儿就会得到答案。但这显然是“作弊”,为我所不屑。一支笔,一张纸,估计也不会用太多时间。这不是我的风格。几天后,有网友得出了答案,1/2。经出题者确认后,我铁口直断,此题一定有“聪明”解,而且不限于 5 6,答案也是 2/1A 抛掷 N 次,B 抛掷 N+1 次,B>A 的几率也是 1/2

以前上班时碰到这类问题,我都是在地铁上考虑。现在退休了,我都是在走路锻炼时考虑。经过约一星期的锻炼,终于修成正果。

考虑三个独立事件:(1A  扔硬币 N 次;(2B  扔硬币 N 次;(3B  扔硬币 1 次。先考虑(1)和(2),B>A 的几率是多少。考虑二维晶格,横轴 X 代表 A,纵轴 Y 代表 B。考虑 NXN 的正方形,两边分别为 X 轴和 Y 轴。坐标代表结果,几率可由二项式算出。对角线即 A=B。左上方是 B>A,右下方是 A>BA=B 的次数为

[C(N,0)]2 + [C(N,1)]2 + 。。。 + [C(N,N-1)]2 + [C(N,N)]2 = (2N)!/(N!)2 = P(N)

稍后我们会发现,P(N)  的值根本没有用到。只考虑(1)(2),B>A 的次数是 [22N - P(N)]/2

现在把(3)和(1)(2)一起考虑。在事件(3),正面向上的几率是 1/2。要使事件(1)(2)中B>A 的几率增加,(1)(2)的结果必须在对角线上(A=B)。往下(3)向上也没用,往上即使(3)向上也不会改变,已经算进去了。(1)(2)(3)一起考虑后,B>A  增加的次数为P(N)/2B>A  的总次数为 22N/2,几率为1/2

采用同样策略,我们会发现,如果 B A 多抛掷 M 次,B>A 的几率也是 1/2。如果没有网友的辛勤劳动给出的“暗示”,我大概不会冥思苦想一星期得出这个“聪明”解法。


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