《華爾街數學》中，有一篇《暗示的力量》，我用具體事例說明，“暗示”在科研中，也有着重要的作用。

第一個例子是 Ising 模型，在1925年由 Ising 提出後，直至 1944 年才由 Onsager 解出。在這之後，沒過幾年，那些原來死路一條的方法，猶如枯木逢春，一個個殊途同歸的嚴格解像雨後春筍似地冒了出來。我知道的就有四種， Kaufmann 的矩陣代數，Fisher 的（量子力學）產生湮滅算符，Percus 的排列組合方法，還有一種是 Dimer，作者記不得了。

第二個例子是集體震動模式（Collective Modes），1955年由Bohm 和 Pines 提出，幾十年毫無進展。上世紀80年代末，AT&T 貝爾實驗室的數值模擬大師 Frank Stillinger 設計了一個極為精巧數值模擬實驗，“證明”嚴格解是存在的。他自己無法解決，就向我的博士後導師，上面提到的 Percus 求助，結果我和 Percus 在1991年將這問題在一維解出，取得36年後零的突破。

這兩個超難題目有一個共同點，在有人“暗示”有解之後，很快就解出了。在這之前，就是漫漫長夜，根本看不到一絲曙光。這兩個例子應該屬於陽春白雪，這兒我來兩個下里巴人的例子。

復旦大學《數學分析》下冊有一道題目。有一圓球 X² + Y² + Z² = 1。另有一平面X + Y + Z = 0。兩個面的交線密度為X²，問交線質量多少。我在大一自學時遇到此題，不會做，是請數學系一位老師幫忙做出來的。老師用的是第一類曲線積分的標準方法，逐步投影做出的，功力之強使我佩服得五體投地。十年後，在取得博士學位前後，我突發奇想，十年前這道積分題，可根據對稱性很容易解出。在這個圓環上質量密度為X²，Y²，或Z²，質量是一樣的。所以我們只需要考慮質量密度為X² + Y² + Z²  的圓環，把結果再除以 3 即可，2 π /3。又過了20年，大約是 2008 年，我把這題貼在萬維網，考考大家。好久無人揭榜。終於有一天，一位高手給出了答案，同時將了我一軍，如果平面是AX + BY + CZ = 1，圓環質量是多少。這位網友辦事嚴謹，不像是無解的惡作劇。就是說，是一道高級“回家作業”。很顯然，他不是要我們用標準的投影方法來解，而且這些 ABC，怎麼個投影法。在此“暗示”的激勵下，經過大約一星期的絞盡腦汁，我終於解出

π (B² + C²) / (A² + B² + C²)

當這位網友看到此題居然被解出，估計是心有不甘，問我是做出來的，還是腦筋急轉彎猜出來的。我告訴他，先考慮  X-Y 平面，線密度X²。然後將平面沿 Y 軸轉一角度 。。。高手過招，一個回合就夠了，他就此打住，沒再追問下去。這道伴隨了我整整 30 年的積分題，從原來老師的標準解法，到10年後自己的“聰明”解，到30 年後經過暗示而畫下的完美句點，確實是“暗示的力量”這個大標題的絕妙注釋。我是金庸迷，將這個故事定名為《三十年磨一劍》，收錄於《華爾街數學》。

第二個例子是我今天早晨的戰果。約兩星期前，一網友貼出如下題目。有一均勻硬幣，A  拋擲 5 次，B 拋擲 6 次，B 得到正面多於 A 的幾率是多少？這題不難，打開Excel，一會兒就會得到答案。但這顯然是“作弊”，為我所不屑。一支筆，一張紙，估計也不會用太多時間。這不是我的風格。幾天后，有網友得出了答案，1/2。經出題者確認後，我鐵口直斷，此題一定有“聰明”解，而且不限於 5 和 6，答案也是 2/1。A 拋擲 N 次，B 拋擲 N+1 次，B>A 的幾率也是 1/2。

以前上班時碰到這類問題，我都是在地鐵上考慮。現在退休了，我都是在走路鍛煉時考慮。經過約一星期的鍛煉，終於修成正果。

考慮三個獨立事件：（1）A  扔硬幣 N 次；（2）B  扔硬幣 N 次；（3）B  扔硬幣 1 次。先考慮（1）和（2），B>A 的幾率是多少。考慮二維晶格，橫軸 X 代表 A，縱軸 Y 代表 B。考慮 NXN 的正方形，兩邊分別為 X 軸和 Y 軸。坐標代表結果，幾率可由二項式算出。對角線即 A=B。左上方是 B>A，右下方是 A>B。A=B 的次數為

[C(N,0)]² + [C(N,1)]² + 。。。 + [C(N,N-1)]² + [C(N,N)]² = (2N)!/(N!)² = P(N)

稍後我們會發現，P(N)  的值根本沒有用到。只考慮（1）（2），B>A 的次數是 [2^2N - P(N)]/2。

現在把（3）和（1）（2）一起考慮。在事件（3），正面向上的幾率是 1/2。要使事件（1）（2）中B>A 的幾率增加，（1）（2）的結果必須在對角線上（A=B）。往下（3）向上也沒用，往上即使（3）向上也不會改變，已經算進去了。（1）（2）（3）一起考慮後，B>A  增加的次數為P(N)/2。B>A  的總次數為 2^2N/2，幾率為1/2。

採用同樣策略，我們會發現，如果 B 比 A 多拋擲 M 次，B>A 的幾率也是 1/2。如果沒有網友的辛勤勞動給出的“暗示”，我大概不會冥思苦想一星期得出這個“聰明”解法。