证明：8个连续正整数的乘积，不可能是一个完全的4次方幂。

8个连续正整数：n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7

(n+3)(n+4)=n^2+7n+12                         (1)

(n+2)(n+5)=n^2+7n+10                         (2)

(n+1)(n+6)=n^2+7n+6                           (3)

n(n+7)=n^2+7n+0                                  (4)

令m=n^2+7n

上面的4个数可以写成

m+12, m+10, m+6, m+0

其算术平均值是m+7。其几何平均值就是8 数连乘的四次方根，小于m+7。

现在估计

（m+12)(m+10)(m+6)m-(m+6)^4

=(m+6)[(m+12)(m+10)m-(m+6)^3]

=(m+6)[(m^3+22m^2+120m)-(m^3+18m^2+108m+216)]

=(m+6)[4m^2+12m-216)]>0

这说明，8 数连乘的四次方根大于m+6。

所以，8个连续正整数的乘积，不可能是一个完全的4次方幂