真是好玩：复数多项式中学数学题解答

Complex numbers a, b, and c are the zeros of a polynomial P(z)=z*z*z + qz + r, and |a|*|a| + |b|*|b|+ |c|*|c|=250. The points corresponding to a,b, and c in the complex plane are the vertices of a right triangle with hypotenuse h. Find h*h ( square of h )

解答：

因为二次项为0，a+b+c=0。 所以该三角形的重心在原点。


通过旋转坐标轴，可以假设两直角边平行于坐标轴。设 a=x+yi 是直角顶点。那么b=x-2yi和c=-2x+yi 是另外两个顶点。  因为|a|×|a|=x^2+y^2等等, 已知条件给出：


(x^2+y^2)+(x^2+4y^2)+(4x^2+y^2)=250.


化简： 6x^2+6y^2=250， 就是


x^2+y^2=250/6.


因为|a|×|a|=x^2+y^2是直角顶点到重心的距离|a|的平方，|a|乘以3/2就是斜边上的中线长，再乘以2就是斜边的长。所以 h=3|a|.  得到：


h^2=9|a|×|a|=9×（250/6）=375.