车五进二:经典概率题答案

一道经典概率题：一个姑娘有三个追求者，这个姑娘难以取舍，于是发给每人一把手枪，子弹无数。让三个追求者轮流射击，两人倒下后，游戏结束。存活者获得爱情。小张命中率30%, 小王命中率50%，小刘是是神枪手，百发百中。为公平起见，小张先开枪，只开一枪，然后是小王，然后是小刘，一直按此次序进行。
问题1：谁存活几率较大？问题2，各采用什么策略使自己存活几率最大化？

答案:


对于张来说，第一枪打偏(空枪)的存活率最大,这样保证王或刘有一个会死掉,而他有机会开第二枪.

对于王来说,张放空枪之后,他只能打刘,应为如果刘没死,刘肯定会先干掉王.

所以,现在是两种情况: 1) 王打死刘. 2) 刘打死王. 各 50% 概率.


1) 张和王对射, 30% 对 50% 命中率, 张先开枪, 张和王的生存率分别为 6/13 和 7/13.

(设张活下来的概率为 P，在两种情况下张可以活着， 1） 第一枪就射中，30%， 或 2）
两人都没中，重新开始，概率仍为 P。所以 P= 0.3 + 0.7*0.5*P，解方程得 P = 6/13。)
 
2) 张和刘对射, 30% 对 100%, 张先开枪, 生存率分别为 3/10 和 7/10.


所以整体上生存率为 张:王:刘 = 99/260 : 70/260 : 7/20 ~ 38% : 27% : 35%.


蛮公平的!


如果不允许张故意打偏，则生存率为　张：王：刘 = 33.6% : 41.9% : 24.5%.