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四维球体积试解
送交者: tda 2014年05月08日12:15:55 于 [灵机一动] 发送悄悄话
四维球体积试解
(1)从圆开始。其方程是 x^2 + y^2 <= R^2 
用x=x0的“平面”去截,其截痕是 
y^2 <= R^2 - x0^2 
这是两个点所界定的线段。这个点集的长度是 
2*sqrt(R^2-x0^2) 
圆面积是 Int(-R,R)2*sqrt(R^2-x0^2)dx0 = pi*R^2. 
(2)球方程是 x^2 + y^2 + z^2 <= R^2 
用x=x0的平面去截,其截痕是 
y^2 + z^2 <= R^2 - x0^2 
这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的圆。这个点集的面积为 
pi*(R^2-x0^2) 
球的体积是 Int(-R,R)pi*(R^2-x0^2)dx0 = 4/3*pi*R^3 . 
(3)四维球方程是 x^2 + y^2 + z^2 + w^2 <= R^2 
用x=x0的平面去截,其截痕是 y^2 + z^2 + w^2 <= R^2 - x0^2 
这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的球。这个点集的体积为 
4/3*pi*sqrt(R^2-x0^2)^3 
四维球的体积是 Int(-R,R)[4/3*pi*sqrt(R^2-x0^2)^3]dx0 = (1/2)*pi^2*R^4
(4)五维球方程是 x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + v^2 <= R^2 
用x=x0的平面去截,其截痕是 y^2 + z^2 + w^2 + v^2 <= R^2 - x0^2 
这是一个半径为sqrt(R^2-x0^2)的四维球。这个点集的体积为 
(1/2)*pi^2*(R^2-x0^2)^2
五维球的体积是 Int(-R,R)[(1/2)*pi^2*(R^2-x0^2)^2]dx0 = ...

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   再把劲---求证n维球体积 - 新见 05/19/14 (342)
    好,我试试。  /无内容 - tda 05/20/14 (317)
      先纠个错 - 新见 05/20/14 (296)
  这个证明看来很不错了。  /无内容 - gugeren 05/08/14 (411)
    谢谢。  /无内容 - tda 05/08/14 (418)
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