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数理逻辑与社会选择理论
送交者: Harry3772 2016年10月30日15:45:24 于 [五 味 斋] 发送悄悄话

小政府,大市场:一个从社会选择的不可能性得出的结论

(2014-02-24 09:24:58) 下一个

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上个世纪,二战后的经济学与上世纪初的物理学一样,是人类学术史上的一次大繁荣。个人以为,现代经济学里有三个伟大成就:一是经济博弈论,一是社会选择理论,还有就是交易成本理论。其中社会选择理论最为有趣,因为它与我们的民主常识有悖。这里,就我所理解的社会选择理论做一简单的介绍。

二十世纪上半叶,除了物理学在量子力学和相对论中取得了重大的进展之外,近代数学也有惊人的进展。其中最重要的就是数学基础,数学的基础是它的公理体系。十九世纪下半叶,德国数学家弗雷格(G.Frege)完备地发展了现代意义下的数理逻辑理论,他引进了命题演算、量词和约束变元,还完整地得到了谓词演算理论。对二十世纪上半叶的数学家来说,现代数学的基础就是应用数理逻辑把数学公理化、形式化。而数学的任务就是由其公理体系和逻辑推演出所有的数学命题。具体说来,就是把数学中的代数、几何、分析公理化、形式化,数学就只是基于这些公理的演绎了。

但是,好景不长。正当英国著名数学家、哲学家罗素(B.Russell)和他的同事怀特海(A.Whitehead),准备把数学基础归为逻辑;德国著名数学家希尔伯特(D.Hilbert),准备把数学公理化、形式化的时候。一九三一年,奥地利数学家哥德尔(Kurt Godel)证明了有名的哥德尔不完全定理:一个包含初等数论的形式系统的相容性,在该系统内是不可证明的。哥德尔定理不仅对数学本身来说意义重大,在方法论上的意义也非同小可。它不但对数理逻辑和数学有重大的影响,对人工智能、哲学、经济学也有着重大的影响。其中之一就是肯尼思·阿罗(Kenneth Joseph Arrow)的“阿罗不可能定理”。

肯尼思·阿罗于1921年8月23日,出生于纽约的一个罗马尼亚裔的犹太人家庭。1940年,阿罗获纽约市立大学数学学士学位;1941年,获哥伦比亚大学经济统计的硕士学位;1951年,获哥伦比亚大学经济统计博士学位。

阿罗对数理逻辑一直很感兴趣。大学四年级时,二十世纪最重要的三位数理逻辑学家(哥德尔、塔斯基、图灵)之一,波兰数学学家塔斯基(A.Tarski),在纽约市立大学讲了一年的现代数理逻辑,阿罗从他那里了解到了传递性、排序等现代数理逻辑的基本概念。

当阿罗来到哥伦比亚大学,师从著名经济统计学家哈罗德·霍特林(Harold Hotelling)攻读数理经济学时。阿罗发现,数理逻辑在经济学中大有用处。最初,阿罗是把数理逻辑中的排序概念应用于消费者的最优决策。阿罗轻而易举地就推翻了由股东投票表决的方案。

阿罗对社会选择问题的严肃思考,源于解决股东投票的传递性悖论。这是一个古老的悖论,由法国哲学家、数学家孔多赛于1785年提出。1947年时,阿罗对孔多赛和其他有关材料一无所知。

1948年,在芝加哥考尔斯(Cowles)经济研究委员会,阿罗对社会选择理论产生了兴趣。他发现“少数服从多数”只是在一定条件下的合理投票规则。很多情况下,“少数服从多数”不但不是最合理的,甚至是不可能的。一个月后,阿罗在《政治经济学杂志》上,读到了布莱克(Black)的一篇文章,文章表达了同样的思想。作为一个严肃的经济学家,当时的阿罗认为,致力于用一般均衡理论来建立可行的经济计量分析模型才是正道。象这类有趣的,但远离主流的经济学理论并不值得花太多时间。

1949年夏天,阿罗任兰德公司(Rand)顾问。兰德公司的研究范围很广,其中有当时还鲜为人知的对策论。公司研究员,哲学家赫尔墨(Helmer),正试图将对策论用于对国家关系的研究。他遇到了一个棘手的问题:当对局者为国家时,尽管每个人的偏好足够清楚,但由个人组成的集体偏好该如何定义?阿罗告诉他,经济学家考虑过这个问题,一个有效的形式化描述由伯格森(Bergson),于1938年给出。伯格森用一个社会福利函数的映射描述将个人偏好加总为社会偏好,它将每个人的效用组成的向量转化为一个社会效用。伯格森理论基于基数效用概念,阿罗认为不难用序数效用概念重新表述。赫尔墨请阿罗写一个详细说明,当阿罗着手写的时候,发现该问题,就是两年来一直困扰着他的问题。既然“少数服从多数”一般来说不能将个人的偏好加总为社会偏好,也许还会有其他方法。几次碰壁之后,阿罗的直觉告诉他,结果可能正相反。很快,阿罗就得到了这一与预想相反的结果。几周后,阿罗对该结果用他在纽约学到的数理逻辑方法作了严格证明。于是,二十世纪最伟大的经济学理论之一就此诞生了。

古典经济学中的“看不见的手”原理表明,市场能够让每个人在实现个人私利最大化的同时产生公共利益。现代经济学理论表明,充分竞争的市场能够通过个人私利最大化行为,实现整个社会的资源有效配置,即公共利益。但市场只适用于私有物品,它不适用于公共物品。对公共物品的生产和消费,只能采用社会选择。那么,有没有一种非市场的社会选择规则,能使该选择从个人私利的最大化得出公共利益呢?或者说使国家利益与个人利益一致,从而实现共同繁荣强国富民呢?

阿罗对上述问题给出了一个严格的表述:即给定一些最普遍的的条件,有没有一种社会选择的规则存在,能够同时满足所有这些条件?这里社会选择指的就是由给定的个人偏好得出公共的或社会的偏好的规则。阿罗给出了从个人偏好得到社会偏好的五项必备条件:

首先,是理性原则,也称为传递性和完全性。简单地说,对于任何一组给定的个人偏好来说,社会选择应该是可传递的。也就是说,对一组给定的个人偏好而言,X>Y>Z,那Z不能大于X,这就是传递性。完全性说的是,社会选择必须产生一个秩序:即对任何两个可供选择的个人偏好X、Y,任何一个人的选择必须是X>Y,X=Y,或者Y>X,不能有别的选择。

第二,是独立原则。X、Y是两个选择方案,若个人关于X、Y的相对偏好不改变,那么无论他关于X、Y以外的个人偏好是否发生了变化,社会关于X、Y的选择也不应改变。这就保证了社会偏好的顺序是由个人的偏好而来的。

第三,帕累托准则。在一个社会中的所有人都认为X=Y,即X和Y没有差别,但只要有一个人认为X>Y,则社会必须认为X>Y。它虽然不符合少数服从多数的原则,但是却肯定了个人偏好的价值。

第四,非独裁原则。不存在这样一个人,他可以不论社会全体成员的个人偏好如何,让社会的的偏好总是和他个人的偏好一致。也就是说,没有一个人可以规定其他个人的偏好。从经济分析上来看,即任何个人都不能制定市场价格。

第五,无限制性。社会中的每个人都可以有他自己的偏好,而不受限制。不能出现这样的情况,即一部分人的偏好不被考虑、计算到整体的社会选择中,或者说一部分人因为他们的偏好被剥夺政治参与的权利。

这五个条件界定了从个人偏好导出社会偏好,从而决定社会偏好,实现公共利益所必须满足的要求。阿罗研究的结果却出人意外:任何社会选择规则,要同时满足上述所有五个条件是不可能的。这就是著名的阿罗不可能定理。

阿罗不可能定理指出任何公共选择规则,都不可能做到公共利益与私利的兼容。阿罗不可能定理是不是意味着任何公共选择都是没有意义的呢?不,它只是指出,公共选择不能实现以私利为基础的公共利益。若能用市场规则,就要尽可能地用市场规则,公共选择应尽可能地少用。也就是说要尽可能地使人类事务沿着市场机制去运行。对于政府来说,越小的政府越可取。事实上,无论如何,许多人类事务依然依赖于公共选择。因为充分竞争的市场也会失效。因此,如何让公共选择兼容于私利与公共利益,就非常有意义了。

公共选择的数学理论背后的伦理暗示,也是很有意义的。为了在政治进程中产生理性的社会选择、公共选择,好象只有限制个人选择一条途径:公共选择的必备条件5,无限制性必然带来产生悖论的可能;这说明完全放任的自由会导致集体的不理性,集体的理性存在,必须在个人选择上做出限制,使个体之间达成共识。也就是说,我们不能要求社会选择像买彩票一样,听任机率的选择,而要主动加以干涉和限制。无论是教育、互惠和沟通带来的妥协或共识,甚至采用一定的强制手段。

社会选择中最常见的就是投票。现有的民主的投票制度有三种:一是全体一致的投票制;二是多数票制;三是否定个体平等的加权和需求显示法。投票是公共领域里从个人偏好得出公共偏好、即从个人私利得出公共利益的最好的机制。自由的投票规则有三个特点:一是让投票来从个人偏好得出集体偏好;二是所有投票者对可能的方案有充分的了解;三是每个投票者都是独立地进行投票。

一致同意在小范围内可能实现,在大范围内成本太高。多数规则有一个问题:就是在多项选择的情况下,多数法则可能给出多个解,最终解如何,取决于投票程序。因此,多数法则存在着某种内在的不一致性,这就是投票悖论。阿罗的不可能定理表明,任何一种公共选择的投票方法都不能完全解决投票悖论,因为任何公共选择规则都不可能满足他所提出的五项条件。

这个结果的推论是:一个社会不可能有完全的个人自由,也不可能实现完全的自由经济。这一结论令人震惊,这到底是人们对社会的认识的一个新高度呢,还是一个新的谬论呢?阿罗不可能定理一经问世,就是经济学家和政治学家争论的论题。阿罗不可能定理对政治哲学和经济学产生了巨大的冲击。一些有名的经济学家,萨缪尔森(P Samuelson)和黄有光就曾著文反驳阿罗不可能定理。但阿罗不可能性定理经受住了所有技术上的批评,其基本理论无懈可击,于是,阿罗不可能定理成了经济学家和政治学家面前的一个不可逾越的障碍。怎样加总社会个体的偏好,怎样找出令人满意的评价不同社会形态的政治经济理论,就成了一个难题。

总之,只有尽可能地避免社会选择,充分地利用市场机制,才能从个人偏好得出社会偏好,才能使公共利益兼容个人私利,才能不伤害每个个人的私利,进而能从个人私利出发,为社会利益服务。但市场机制是有限的,很多情况下,我们非得使用非市场规则来从个人偏好得出社会偏好。与市场规则相比,非市场规则最大的缺陷是它不能形成不损害个人私利的公共利益。由于投票悖论的存在,从个人偏好得出社会偏好是不可能。也就是说,任何非市场选择,都不能满足阿罗不可能定理,因此投票政治(民主政治的基础,现代社会一切政权合法性的基础)不能替代市场。投票政治要尽可能地让位于市场,人类社会要尽可能地建立在市场基础上,压缩社会选择,对社会选择实施宪政制约,才能会有好的、公平的社会。换句话说,好的经济、公平的经济是市场经济;好的社会、公平的社会应该是小政府,大市场。

haobuhao:

名副其实的不懂,但看起来挺有意思。

针对 "第三,帕累托准则。在一个社会中的所有人都认为X=Y,即X和Y没有差别,但只要有一个人认为X>Y,则社会必须认为X>Y。它虽然不符合少数服从多数的原则,但是却肯定了个人偏好的价值。", 较劲一下。

"任何一个人的选择必须是X>Y,X=Y,或者Y>X,不能有别的选择": 这个规定本身将量化(x=y)与非量化(>, <)混在一起。所谓量化,我意思是,x, y比较多大程度上的>, <.  比如,  x = y + 1, x = y + 2, 都意味x > y, 但后者x得分更高。x = y 意味着二者得分一样。

所以,当"所有人都认为X=Y", 这意味着多数(实际上全部)选择"x=y"这条?还是认为x, y得分相同?我看后者更合理。

再举个例子。多数选x>y但都认为x, y 差别无几, 少数选x

量化(x=y)与非量化混在一起,就会出现似乎不合理的现象。

从量化出发,就不要谈少数服从多数。

所以"第三,帕累托准则"的实际意思应该是,选x=y的被当成弃权。。。那句评论“它虽然不符合少数服从多数的原则”不恰当.


求助高手:

貌似用逻辑推了半天,还是在最后一段里被偷换了。


哈瑞:

福利社会主义的趋势使得大政府成为必然。结论:好的社会、公平的社会是大政府,大市场。


 

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