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谁能帮我做一道高中时代的数学附加题?
送交者: 果子狸 2020年01月28日14:34:56 于 [五 味 斋] 发送悄悄话

读高中学复数的时候,自己想过一个问题,至今没有答案,哪位热心的大拿能帮助一下,不胜感激。

在实数集里,任一实数都可以表示为数轴上的一点,但是,用其中的一些点来进行运算的时候,得到的结果却不在这个集里。众所周知,-1 的平方根就不是实数。因此老师说,实数集是一个开放集。

大家也知道,把 -1 的平方根写成 i,我们就有了一个新的数集,叫做复数集。每个复数都可以用一个代数二项式来表达,即 a+ib ,其中 a 与 b 均为实数。

除了这个代数表达以外,任一复数也可被看作二维空间中的一个点 (a, ib),如果我们把横座标定为实数,纵座标定为虚数,以原点到横座标上任意一点的线段定为零角度或圆周率的整倍数角度,以反时针方向的旋转来计算从横坐标到原点至此二维空间上任一点的连线之间的角度,姑且把这个角度称为 而连线的长度为 p,这个点 z 可以被表达成

z2 (应读为 z 的平方) = a2+ib2 (a 平方加 ib 的平方),这是大家熟知的勾股定理,对不?

换句话说,如果已知 p 与 q

这个复数 z 也可以被写成它的三角函数表达式,即 z = pcos+ ibsinq

然后,数学老师说,复数集是一个封闭集,因为你可以在任取几个复数来做代数运算,运算的结果仍然是一个复数,牛!

我记得这个数学老师姓卢,名字中有个锦字,但记不得另一个字了。学生都叫他卢锦鲤,因为他戴了一副超大的老花眼镜,常常从口袋里掏出一块手绢来擦镜片。 

记得我在课堂上用无知者无畏的口气问过他,如果实数集的几何表达是一维空间,而对一些实数的代数运算可以得出此集外的答案,为何这个逻辑不适用于复数集?换句话说,对一些二维空间中的点做代数运算,我们却不能得出一个平面外的结果?

于是卢锦鲤开始认真地擦他的眼镜片,然后双手一摊,说不可能得出我想象的结果。一维空间可以通过代数运算得到二维空间,但这种逻辑绝对不可能复制到二维空间里去。

各位大拿,你们说卢锦鲤说的有道理吗?

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    不但开方是运算,而且对数也是运算。  /无内容 - 果子狸 01/28/20 (1)
      除法算“运算”吗?1÷0是什么数?  /无内容 - 酸亦鲜 01/28/20 (2)
        建议你读一下双曲函数的极限值问题。  /无内容 - 果子狸 01/28/20 (1)
          到底“实数”的完美定义是什么?  /无内容 - 酸亦鲜 01/28/20 (0)
      负数也是实数吧,你去读读初一的课本就知道。  /无内容 - 果子狸 01/28/20 (0)
      他们都是蒙事的。并未证明实数填满了整个数轴。  /无内容 - 酸亦鲜 01/28/20 (0)
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