我在前一篇文章讨论共军的新电磁炮时，提到不论初速多高，任何弹丸的海平面平射有 效射程都不可能超过40公里。结果自然有人质疑这个结论（不盲目迷信权威，是件好事 ，即使这个权威就是我），但是因爲这种流体动力学的问题，没有简单的理论解，现象 极度複杂，我无法在留言栏的有限空间里好好解释。

考虑了一会儿，觉得虽然有点太专 精，但是一般军迷和媒体都可能会对超音速弹丸受空气阻力而减速的问题有兴趣，却又 从没有人把它科普过，所以我虽不是弹道学专家，还是以物理人的身份讨论一番。不是 理工出身的读者，可以径行忽略这篇文章。

 一般科普文章谈到空气阻力，都说阻力= ρ * A * Cd * v^2 / 2 (v是速度，ρ是空气 密度，A是物体的横截面），那么我们只要测量阻力系数Cd，就可以知道在不同速度下 ，阻力有多大。换句话说，在空气中穿行的物体，形状可以很複杂，尺寸大小也各自不 同，但是这些影响空气阻力的种种因素（除了速度、空气密度和横截面积之外），全部 被包容到一个系数里去了。例如汽车的Cd，一般轿车在0.28左右，休闲车是0.35，皮卡 则接近0.4。这样的公式，只有在Cd不随速度变化的前提下才有大用；很巧的是，当速 度低于音速时（但不是太接近0），这是一个很好的近似。 然而随著速度的提高，空气阻力随速度的变化，就成爲高度非綫性的。下面的图是把前 面所提的阻力方程式推广到较大的速度范围后，画出Cd随速度而变的函数。

可以看出有 四个主要的区域：

A）在Mach 0.85以下，Cd基本是一个定值，这是前面提到的，爲什么 会定义Cd这个阻力系数的原因；

B）从Mach 0.85到Mach 1.1之间，Cd大幅提高，这是因 爲音爆激波开始形成，1940年代所谓的“音障”就是研究人员对这个一面墙似的阻力增 加所做的描述；

C）从Mach 1.1到Mach 5之间，Cd又开始慢慢降低，这段函数其实很接 近反比曲綫，换句话说，在这个区间，空气阻力其实是与速度成简单正比的，但是科学 界因爲约定成俗，仍然继续使用与速度平方成正比的老公式；

D）虽然图中没有显示出 来（因爲这张图里的两条曲綫对应著两种不同的步枪弹，它们的枪口初速只有Mach 3出 头），但是在Mach 5以上，Cd又成为一个定值，一般是在低速数值的一到两倍之间，视 物体本身的形状和大小而定（物体越粗短，这个比值越高）。 

这是一个典型的弹丸阻力系数对速度的函数，纵轴是Cd，横轴是Mach数。一般会达到超 音速的东西，不是弹丸，就是火箭和飞机；火箭和弹丸的函数曲綫比较相似，但是飞机 因爲有机翼，要更複杂得多，我不在此讨论。 军迷读者应该常常看到所谓的“亚音速”（或者“次音速”，“Subsonic”）、“穿音 速”（“Transonic”）、“超音速”（“Supersonic"）和“高超音速”（“ Hypersonic”）等词汇，它们的定义来源正是上面所描述的空气阻力系数作爲速度的函 数曲綫，有不同形状的A、B、C和D四个区间。 

好，我们对空气阻力和速度的关系有了基本的瞭解，现在可以回头来讨论本文的主题， 也就是电磁炮的弹丸在海平面空气中的减速现象。目前实用电磁炮可能达到的初速，顶 多是Mach 7，更可能是Mach 5，所以主要是在前面所提的C（超音速）区间。如前所述 ，在这个区间，空气阻力其实是与速度成简单正比的。学过大一微积分的读者，可以试 著从这个正比关系来推导弹丸减速的速率，你们应该会发现，弹丸速度会随距离而做綫 性损失；但是损失的斜度视弹丸的形状而定，必须从实验求得。 

这两张图来自1990年美国陆军弹道实验室（US Army Ballistic Research Laboratory ）的一篇论文（参见http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a224217.pdf ，已经解密了）。

图1A是三种APFSDS（翼稳脱壳穿甲弹，亦即阻力极小的次口径长杆飞行物）的速度对距离函数，

图1B则对应著几种小口径弹丸。它们都高度符合綫性关系，可见在超音速区间空气阻力与速度成简单正比是一个很好的近似。 

这里我们先看看图1A的最上方曲綫和图1B的最下方曲綫，分别对应著极爲细长的M829（ 即M1坦克所用的120毫米穿甲弹）和比较粗短的M793（是典型的高爆弹丸）。我的估计 是前者的斜率是-0.13（单位是Mach/km，亦即每公里损失的Mach数），后者的斜率则是 -1.3，刚好高了10倍。

人类可以做出来的海军舰炮弹丸，不论是火炮还是电磁炮，在海 平面Mach 1.1到Mach 5之间的速度损失率，基本都应该在这两个数值之间。以下的讨论 将取速度衰减系数k = 0.13来代表次口径长杆动能弹，用k = 0.3来代表典型的大口径 高爆弹。 现有的典型海军舰炮，例如美军的Mark 45五寸炮，发射高爆弹的初速是Mach 2.3（如 果改用APFSDS，初速应该更高，可能会达到Mach 3以上），有效射程是24公里，但是这 其实早已是曲射了，速度也掉到音速之下。

荷兰的Goalkeeper近防炮发射次口径脱壳弹 的初速是Mach 3.3，有效射程2公里。上图中最接近它形状和大小的，是M791（1B里的 最上方綫），对应著大约k = 0.5，所以我们可以估计终端速度是3.3 - 0.5 * 2 ≈ Mach 2.3，这才是平射弹的水准。 如果电磁炮发射APFSDS，那么40公里外的Mach数损失是0.13*40=5.2，即使初速是Mach 7（请注意，Mach 5以上这个公式其实已经不适用，实际的阻力与速度平方成正比，比 速度正比更高得多，所以Mach数损失应该显著高于5.2，我的估算是6左右），终端速度 也只在Mach 1.8以下，还不如雄风三型飞弹，但是却没有任何高爆药，所以其破坏力也 就只是一个小洞（读者请想想雄三的纯动能损害还不足以击毁一艘小渔船，何况炮弹比 飞弹更小了几十倍）。

如果新舰炮发射高爆弹，那么17公里外的Mach数损失就已经超过 0.3*17=5.1，Mach 7的初速更是完全没有意义。 同样用大一微积分，可以简单求得在Mach 5以上，因爲阻力是与速度平方成正比，速度 对距离会成指数下降，亦即v ∝ e^(-x/D)。考虑APFSDS做爲最低阻力的例子，可以求 得D=5/0.13 ≈ 40公里（嘿嘿，你们以爲40公里是我随口乱说的吗？）；换句话说，在 Mach 5以上，每40公里，速度降低为原本的37%（这是Euler常数e的倒数）。

所以如果 在40公里外，要求终端速度为Mach 5，那么初速必须是5 * e ≈ Mach 14。别说这是21 世纪身管材料科技不可能达到的高度，就算外星人送给我们新的超级耐磨耐热材料，能 做出Mach 14的电磁炮，空气阻力所造成的摩擦生热也达到Mach 5的八倍，足以融化钨 芯弹丸。 

【后注】因爲在留言栏谈起来，我顺便提一提。要算曲射的射程比较麻烦，首先必须知 道大气密度对高度的函数，请参见下图： 这个函数曲綫很类似一个指数，我取ρ ∝ e^(-z/H)，这里H可以从图上直接读出，大 约是7.7公里；换句话说，每上升7.7公里，大气密度减低为原本的37%。然后也不须要 写程式，Excel这种电子表格已经很够了。我放了几个传统火炮发射大口径高爆弹的初 速、射高和射程数据，反推到的速度衰减系数k都是0.3。 至于美军那门Mach 5初速的电磁炮，如果不用火箭助推和滑翔增程，最大的自由弹道射 程是多少呢？我的计算结果是55公里，对应著58°的发射仰角；这还不到厂商吹嘘的最 大射程180公里的1/3，可见靠增高初速来提高射程，是事倍功半的傻事。换句话说，电 磁炮连用在远程对地轰击，都不见得是效费比最高的方案。