介紹谷山-志村猜想之前，還需要加兩篇必要的基礎知識，此篇介紹的是對橢圓曲線如何定義“群”。

圖1：谷山-志村猜想

懷爾斯證明費馬大定理有三大要素：橢圓曲線、模形式、谷山-志村猜想。谷山-志村猜想已經被證明了，因此現在一般稱其為“模性定理”（Modularity Theorem）。模性定理講的是橢圓曲線和模形式之間的關係，這種關係是建立在第四大要素：“伽羅瓦群表示”的基礎上。伽羅瓦（Galois，1811-1832）是一位早逝的法國天才數學家，他在證明一元五次方程沒有根式解時創造了群的概念。因此，在介紹谷山-志村猜想之前，此篇我們首先回過頭再看橢圓曲線^【1】，看看如何在它上面引入“群”。

在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、滿足結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構。如果這個二元運算是可交換的，則稱之為“阿貝爾群”。

實數域的橢圓曲線比較直觀，但事實上橢圓曲線可以被定義在任意域K上。例如在圖1左邊的橢圓曲線，被畫成了一個甜甜圈的模樣，這是因為橢圓曲線在複數定義域上本質上等同於環面，而畫在實數域上的橢圓曲線（紅色）只是環面的一個投影。這意味着，從拓撲上講，橢圓曲線可以被看作一個甜甜圈形狀的表面，即數域K上的虧格為1的曲線。其中曲線上的點可以映射到環面上的點，在這種映射下，橢圓曲線的群結構與環面的群結構一致。谷山-志村猜想與上面說法有類似之處，但映射的對象變了，谷山-志村猜想說的是橢圓曲線與“模形式”的一致。

1，有理數域上的橢圓曲線

為了方便研究群表示，首先在橢圓曲線（y^2=x^3+Ax+B）上的點與點之間定義加法運算。

圖2：橢圓曲線上的加法

圖2顯示了橢圓曲線加法的幾何操作方法，左圖表示一般的標準情況：假設P1和P2是曲線上的兩個點，從這兩點連線與橢圓曲線的交點，再向對稱軸引垂線，對面的那個點就是相加之後的結果P3。圖2中圖，表示相同的點(P1=P2)時的加法：先作切線，再從交點作垂線。右圖則是連線只有兩個交點的特殊情形，結果記為0，表示無窮遠點。此外，基於相同點的加法，可以定義標量乘法運算。

由以上定義的加法運算，可構成一個加法群：所有橢圓曲線上的點，是這個群里的元素；點P的逆元是點P相對x坐標的對稱點；單位元是無窮遠點0；加法滿足結合律。以上幾點滿足群的定義，並且這個加法群是阿貝爾群（元素之間的運算次序可交換）。

因為目的是解決數論問題，所以我們最感興趣的是有理點數域上的橢圓曲線，有理點的意思是：x、y，及方程的係數A、B都是有理數，即可表示為兩整數相除m/n（n不為零）形式的數。

可以證明，在以上加法運算下，結果仍然是有理點，因此有理數域Q上橢圓曲線E(Q) 的群，與實數域的類似。以此為基礎，群結構可擴展到橢圓曲線的其它域上。

2，有限域上的橢圓曲線

橢圓曲線E(Q)的有理數解的數目看起來是無窮多的，但關於這點，法國數學家龐加萊（Poincaré，1854-1912）在1901年有一個猜想，1922年被莫德爾（Mordell，1888-1972）證明了。這個後來被稱為莫德爾-韋伊的定理說：“橢圓曲線的有理數解，可以由一個有限的阿貝爾群生成”。該定理成為丟番圖幾何和阿貝爾群的一個基礎定理。因此，E(Q) 實際上是有限生成的阿貝爾群。換句話說，存在有限多個點，使得Q∈E(Q)都可以寫成如下線性組合：

Q = a1P1+ a2P2+...+anPn。

得到有限群的一個常用方法是對橢圓曲線做模p（mod p）約化，這也是數論中一種重要的技巧。通過模p約化，可以把整數域Z的問題約化到有限域Fp。

例如，對橢圓曲線：y^2=4x^3-53568x-4321728，作mod 5 約化。考慮點（4, 1），它不在原來的橢圓曲線上，但是滿足約化後的方程。

圖3：有限域上的橢圓曲線

圖3的右圖給了一個模p=17的約化例子^【2】。約化後的橢圓曲線定義在有限域Fp（F₁₇）上，這個有限集合Fp的個數r稱為橢圓曲線的秩。

在有限域Fp上的橢圓曲線與原來的橢圓曲線並無直接關係。實際上，只是有限個點的（封閉）集合，並非原來那種連續“曲線”。因此，這個有限群上的加法定義也需要做一些適當的修改。其中的群元素與整數的乘法（如圖3右圖所示的2*G、3*G等）也需修正。因為離散點的“切線”已經失去了意義。對此，本文不詳細說明了，讀者可閱讀參考資料^【3】。

有關秩與橢圓曲線的有理數解之關係，是重要的研究課題，與BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想有關。該猜想屬於世界七大數學難題，被克萊數學研究所列為千禧年大獎難題之一，至今未解。此外，這個問題也和至今未解的同餘數問題有關，此是另一話題，在此不表。

3，複數格點上的橢圓曲線

複數上的橢圓曲線可以看作是一個復環面，它是通過取複平面並用格（複平面的離散加法子群）“修正”而獲得的。

圖4：複數域的橢圓曲線

當將橢圓曲線視為圓環時，基本區域是複平面上的平行四邊形，它表示圓環上的所有不同點，圖4。橢圓曲線上的點通常由魏爾斯特拉斯 ℘ 橢圓函數參數化，這是一個與格相關的復解析函數。橢圓曲線等同於魏爾斯特拉斯形式（Weierstrass form）。

（下一篇繼續）

參考資料：

【1】Wikipedir-Elliptic curve ：https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve

【2】https://codeahoy.com/learn/practicalcryptography/asymmetric-key-ciphers/elliptic-curve-cryptography-ecc/

【3】https://andrea.corbellini.name/2015/05/23/elliptic-curve-cryptography-finite-fields-and-discrete-logarithms/