皮亞諾的這五條公理用非形式化方法敘述如下：
5：任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，可以證明對a' 也真。那麼，命題對所有自然數都真。
其中，一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數，例如，0的後繼數是1，1的後繼數是2等等；公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理。
若不將0視作自然數，則公理1,4,5中的“0”要換成“1”。
---------------------------------------------
於是，數學家們就以為歸納法可以用於數學命題的證明了。
大家知道高斯的故事，老師讓小學生用自然數累加，從1加2再加3，...。一直加到100.。
高斯很快做出結論。
第一個自然數1加上本次設立的倒數一個自然數n，等於1+n。
第二個自然數2加上倒數第二個自然數n-1，等於1+n。
第三個自然數3加上倒數第三個自然數n-2，等於1+n。
........。
第n/2個自然數加上倒數第n-n/2+1，等於1+n。
高斯沒有也無需將省略號以後的所有的加法做完。因為根據皮亞若公理第5條，歸納法是成立的。
這裡，因為自然數是一個普遍概念，普遍概念的特徵就是每一個元素都具有這個概念的全部屬性。
如果命題中的變量不是普遍概念，而是集合概念，皮亞若公理就無效了，因為集合概念的每一個元素不是必然具有概念的屬性。好了，這就告訴我們，對於集合概念的命題，例如費馬大定理，黎曼猜想，貨郎擔問題，它們都是變化率的變化率，即二階邏輯問題。a成立，a+1不一定成立。需要逐一證明，就是說，對於二階邏輯命題，數學歸納法不能推到多米若骨牌。
不完全歸納法不能用於這一類命題
