什麼需要證明才能成為定理

導讀

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數學命題的證明是尋找並驗證因果關係的過程，必須通過正確的演繹推理（如三段論AAA格式）確保其有效性。錯誤的證明格式（如IOA）或歸納法無法確立真理，因為數學真理需要必然的因果關係，而非或然性推理。

數學命題為什麼需要證明？從來沒有人正式談過這個問題。

科學研究就是為了尋找事物因果關係，一個結論得出以後需要別人重複，重複的目的就是驗證因果關係。數學命題證明就是找到因果關係並且驗證這種關係。

科學的特徵就是可重複性（例如物理學-化學實驗等），之所以可以重複，就是因為確定它們的因果關係。

數學命題證明是溯因推理，溯因推理是從結果追溯原因的推理，是採納假說的推理。是確定因果關係的檢驗。溯因整理成為一個命題叫做猜想（證明一個猜想是告訴你結果，讓你按照規則找出原因-過程的必然性，把道理講清楚）。

證明需要演繹推理中正確的三段論格式

數學定理都是全稱判斷，全稱肯定判斷的命題證明必須是三段論AAA格式。

必須找到一個概括了所有的元素屬性的定理或者公式作為大前提，如果找不到，就無法通過演繹證明。

如果找不到，數學家們就胡來了。

例如一，安德魯懷爾斯證明費馬大定理：

https://bbs.aboluowang.com/thread-1116176-1-1.html

1，假定有一個否定費馬大定理的反例解

（特稱判斷I）。

2,這個反例不存在（否定判斷O）。

3，於是證明全稱的費馬大定理成立(全稱肯定判斷A)。

以上是錯誤格式IOA。

根據三段論規則，前提中有否定判斷，結論不能是肯定的。前提中有特稱判斷，結論不能是全稱的。而全稱肯定判斷的結論只能來自第一格AAA。

IOA格式這種證明不能確定因果關係，因為大前提是假設的，又被小前提證明是不存在的，這種虛構並且不存在的前提所以是無效的。

例如二，邁克爾阿蒂亞證明黎曼猜想也是這種錯誤。

例如三，張益唐證明黎曼猜想問題“朗道-西格爾零點”也是這種錯誤。

例如四，王虹-扎爾證明掛谷猜想也是這種錯誤。

上面談到為什麼必須是AAA格式，而不能是IOA格式，因為後者改變了證明條件，條件一旦改變，就不一定是真理了。

例如，最速降問題，小鐵球在曲線下降速度比直線快，空氣阻力忽略不計。如果是在水中比賽，或者在飽和鹽水中比賽；如果不是鐵球而是塑料球，距離遠的曲線就因為阻力更大而比近距離的直線慢。（兩個相同的塑料球在鹽水裡比賽，速度與距離會發生改變）。

證明需要演繹證明，不能是歸納法證明

因為數學是研究數量-空間結構-數量和空間結構的變化，我們面對的情況是複雜的和變化的，常常需要從一個時空到另外一個時空，從一個命題推出另外一個命題，從一個判斷中得到另外一個判斷。

我們從已知命題推斷出未知命題的行為叫推理，已知命題叫前提，未知命題叫結論。我們證明一個結論的系統化行為，叫做論證。

邏輯就是確保這些推理和論證能夠有效的規則。邏輯學就是研究這些有效推論和論證規則與標準的學科。

邏輯為有效性推理提供了合法性，邏輯的合法性即邏輯起作用的底層原理是什麼？

邏輯的本質內涵是：通過老概念理解新概念，通過已知命題來推斷未知命題。從老範疇中得到新範疇。

邏輯本質是處置我們心智中的問題和擴大我們的認知範圍。

這種擴大有三種有效路徑：

1，演繹推理，就是從大範疇中找到小範疇的推理；前提與結論是蘊含關係。得出的結論是必然判斷。

2，歸納推理，從眾多小範疇中找到大範疇的推理；

3，類比推理，在相似的範疇之間找到共性的東西和不同的東西。

我們藉助從老命題引向新的命題-從已知引向未知的。

只有演繹推理形式是必然有效的，因為大範疇的存在，是小範疇存在的充分條件，所以，演繹推理是必然的因果關係推理。

而歸納和類比推理不是，邏輯上也不會用有效性與否來評價這兩類推理，只會說歸納強度和類比的可接受性。所以也叫或然性推理。

數學定理不能是或然判斷。數學歸納法產生的不是定理，因為歸納無法歸納出未知元素的屬性。

歸納是在一個有窮大的樣本中逐一列舉, 只要樣本空間沒有被窮盡, 使用的都是簡單枚舉歸納推理。例如哥德巴赫猜想的產生：原始信息（6=3+3，8=3+5，..。就是逐一歸納有限的樣本，具有某種性質（兩個素數之和），於是歸納推出“哥德巴赫猜想”，推導出數量有無窮多個偶數的樣本也具有某種性質），如果再用歸納法證明，好比歸納了兩次，只能增加命題的可信度，不能證明整個命題有效。

對於無窮大的樣本, 我們根本不可能窮盡該樣本空間, （例如哥德巴赫猜想中的偶數就有無窮多個）因此只能使用簡單枚舉歸納推理，簡單枚舉歸納推理是一種擴大前提的推理, 它的結論是不可靠的。（我們中學裡介紹的數學歸納法，對於1成立，n成立，n+1也成立，也僅僅用於恆等式，恆等式沒有屬性。歸納法不能用於定理的證明。）

就是說，數學命題證明必須是正確的形式--演繹法和演繹法中正確的格式。

最後告訴大家，全世界幾乎99%的數學定理都是使用錯誤的歸納法證明的，或者錯誤的格式證明的，都是無效的。哪裡有象現在這樣，每一年產生20萬條所謂“定理”。

真理的產生是非常困難的，成本是巨大的；需要大量的錯誤作為鋪墊，需要漫長的時間試錯，數學兩千年都沒有邁過邏輯障礙。