現實世界：理解數學的金鑰匙

當代數學，龐大而繁雜，學數學的，往往陷在森林之中，看不清遠處。但是，只要我們把數學當作理解現實世界的工具，數學本身也就容易理解了。下面，我們簡單介紹一下數學的幾個重要分支以及它們與現實的關係。

1．拓撲學
龐加勒最初想用微分方程描述三個物體在引力作用下的運動軌跡，即三體問題，但發現運動軌跡極為複雜，很難掃描，他退而求其次，希望理解系統的穩定性，而非精確的軌道，這就是拓撲學。由於拓撲學不需要象分析學那樣精確，拓撲學方法在許多領域，比如經濟學，得到廣泛應用。人們所熟悉的《美麗心靈》中的納什，就是用拓撲學方法來證明博奕論中的一個存在性問題。拓撲學理論還用來證明一般均衡態的存在性，即Arrow-Debreu 理論。為此Arrow 和Debreu兩人都拿了諾貝爾獎。

Debreu[1] 曾提到拓撲學方法的好處, “In the area under discussion it has been essentially a change from calculus to convexity and topological properties, a transformation which has resulted notable gains in the generality and in the simplicity of the theory” (Debreu, 1959, p. x). 但同時, 拓撲學方法不能提供一個定量的價值理論.而分析方法卻可以,詳情可參看[2] 第六章.

2. 概率論和隨機過程

1900年, BACHELIER 遞交了他的博士論文, 題目為<<投機的數學>>. 建立了布朗運動的數學理論, 但他的工作在他在世的時候並沒有受人重視.直到半個多世紀後, 才受到經濟學界的重視. 這方面的最大成就是1973年的BLACK-SCHOLES 期權理論. FISCHER　BLACK是一位數學博士．　　

我們無法知道微觀粒子的確切路徑, 但我們可以知道微觀粒子的路徑分布, 1948年, 費曼提出了路徑積分方法, 後經Kac 進一步推演, 成為Feynman-Kac 公式, 是概率論和隨機過程理論中應用極廣的一個方法, 也應用到經濟學理論. Dixit 和 Pindyck 在1994 年出了一本很有影響力的書[3]. 書中提到“Feynman could be claimed as the father of financial economics” (Dixit and Pindyck, 1994, p. 123). 但他們並沒有使用Feynman-Kac 公式, 而是用了Fokker- Planck equation. 大概他們沒有意識到兩者之間的區別. 如果他們使用Feynman 的方法, 會得到經濟學裡很重要的結果, 詳情可參看[2] 第三章.

3．代數和非交換代數
費曼提出路徑積分, 是第三種量子力學理論. 1925年，海森堡，波恩和喬丹提出了量子力學的第一個理論：矩陣力學。其最基本的結果就是位置和動量乘積的非交換性。正是由於量子力學的興起，代數，特別是非交換代數的研究，變得非常活躍。

4． 泛函分析和算子理論
在學習泛函分析前，我們學過函數。每個函數，都有明確的自變量和函數值。但是，在微觀世界裡，我們無法精確知道很多數值，比如我們無法精確知道一個電子的位置和動量，我們只能知道它們的概率分布，這種函數的定義比傳統的函數定義廣泛，是為泛函。

1926年, 薛定諤提出第二種量子力學理論：波動力學. 其基礎是薛定諤方程. 了解量子力學一般通過對應原理, 比如說, 經典力學中有一個動量, 量子力學裡就有一個動量算子. 這樣, 量子力學裡的方程, 象薛定諤方程, 就容易從經典力學理解了. 數學中的算子理論, 也因此流行.

從上面的討論可知, 量子力學的三種理論, 催生出很多不同的數學理論. 由於量子力學的這三種理論是等價的, 這些看上去很不同的數學理論有着很多深層的聯繫.

5. 信息論

信息論是申農在1948年發表的. 研究信息論的最初目的是破解敵方的密碼. 要破解敵方的密碼, 必須找到文字的規律, 那麼文字有什麼規律呢? 我們說話, 不知不覺, 都想用最短的方式表達. 而申農證明了, 一個信息最短的表達方式是熵凾數. 也就是說, 熵凾數是是天然的經濟度量. 因為信息論可以計算信息編碼的最短值, 成了信息壓縮技術的理論基礎. 而人的大腦也需要減少信息處理的成本,因此信息論也成為理解思維的工具,詳細的討論可參看[2] 第五章.

由於信息和熵, 一個最基本的物理量, 連在一起, 很多人猜測信息論會有極廣泛的應用. 1956年, KELLY 推導出信息的量值等於投資的最高回報率, KELLY 的工作在投資界得到廣泛應用, 但卻被經濟學理論界拒絕. POUNDSTONE 曾寫過一本書[4]，描寫了形形色色的有關人士．　

我們評價一個數學工作的重要性,往往以難度衡量, 但是數學和其它科學的目的, 不是為了增加難度, 而是為了簡化問題, 從長遠的角度, 那些對實際問題帶來更加簡潔理解的數學方法, 才會有更多的人去學習.從上面介紹的幾個例子，我們可以看到，源於現實世界需要的數學研究, 往往具有強大的生命力. 在過去一百多年中, 物理學,特別是統計物理和量子物理,是數學理論的重要源泉.而過去幾十年和將來, 數學在經濟學領域的應用將給整個社會科學帶來巨大的變化.

參考文獻

1.       Debreu, G. (1959). Theory of value; an axiomatic analysis of economic equilibrium. New York: Wiley.

2.       Chen, J. (2015) The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, Springer

3.       Dixit, A. and Pindyck, R. (1994).Investment under uncertainty, Princeton University Press, Princeton.

4.       Poundstone, W. (2005).Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street, Hill and Wang