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“氣死數學家”的解答
送交者: 零加一中 2020年04月20日18:59:02 於 [教育學術] 發送悄悄話

每次讀《費馬大定理》,總會發現一兩個以前忽視的故事。這次也不例外。

有一道“難題”,數學家們好幾十年未能解出。當終於有人把它解出,數學家氣死了,原來聰明點的高中生,甚至初中生就可以做。或者這麼說,答案如此簡單,一般的初中生就能看懂,根本用不到任何先進的數學工具。

作者介紹這個故事,是說明 Wilse 教授在“閉關修煉”前,做了大量的閱讀,他認為,19-20世紀現存的數學工具,不足以解決這個問題。或者說,這些工具只能用來解決一些特殊的值。其中包括了:N=3,歐拉引進了虛數;N=4,費馬使用了反證法。N<32,拉梅神父和大名鼎鼎的柯西使用了歐幾里德證明的算術基本定理,即正整數因式分解的唯一性。他確信,下面這樣的“笑話”不會發生,數學家忙了半天,結果發現現成的簡單數學工具就能解決。

二維平面有 N 個點,不在同一直線。將任何兩個點連接起來,有 N(N-1)/2 條,某幾條線可能重複。證明至少有一條線,上面只有兩個點。解答如下:

對每一個點,找出一條直線,離它的距離最近。在所有 N 個“最近距離”中,找出最近的一個以及對應的點(P)和線(原來的連線,不是點到連線的垂線)。這條線上至少有兩個點 A 和 B。現在可以證明,AB 上不可能有第三個點(C),如果有的話,P 點的垂線就不可能是“最近距離”。可以分兩種情況證明:C 在 AB 之間或之外。

假如 C 在 AB 之外,假定 B 點一側,可以證明,B 點到 PC 的距離更近。假如C 在 AB 之間,可以證明,C 到PA 或 PB 的距離更近。

證明中用到了以下概念:

(1)點線距離

(2)相似三角形

(3)一個很聰明的策略

最後解出的當然是數學家,不是高中生或初中生。你有沒有被氣死?


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