老錢：關於“樣本池”的普測方法

5/25/20

今天網上流轉兩篇文章，《武漢千萬人核酸檢測，真實感染率曝光》和《全民檢測50萬人已感染 武漢女斥政府腦殘(視頻)》。
 
武漢市的感染情況到底如何。這個問題不僅僅是武漢人關心，政府關心，也是全世界都很關心的問題。5月14日，武漢市掀起了“十日大會戰任務”，要在10天之內，對全武漢的一千一百萬人做一次核酸檢測，徹底摸清武漢市的詳細情況。
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這麼大的測試量，怎麼能在十天完成。據說這是因為採取了“混合樣本池”的方法。這個方法是英國科學家在《柳葉刀/Lancet》上發表的，為了提高大規模普查的效率和降低成本。
 
我思考了一下，想來做一個進一步理解和解釋。
 
設想把一群人（比如說64人中的一半，32人）的每個人的採樣樣本混合在一起，成為一個樣本池。因為32人的樣品都攪合在一起了，只要其中有一個人是陽性，這個樣本池整體就是陽性。如果檢測結果是陰性，那麼這個樣本池里的任何一個人都必定是陰性。那麼就不用對這32人一個一個地檢測（但是仍然需要做了32個採樣），而是僅一次測試就把這32個人都排除了。減少了31個測試。
 
對於剩下的另一半的32人呢？如法炮製。
 
再取一次16人的混合樣本池，如果最好的結果是陰性。這16個人就一下子排除了。
第三次對剩下一半16人，做8人的混合樣本池，最好的結果是陰性。這八個人就一次排除了。
第四次是對剩下8人，進行4人的混合樣本池，最好的結果是陰性。這四個人就一次排除了。
第五次是對剩下4人，2人的混合樣本池，如果是陰性。這兩個人就排除了。
第六次，僅剩下最後兩個人了。就要對每一個人都做測試。結果可能是3種。
兩人都是陰性，那麼這全部的64人就沒有一人被感染！
如果一陰一陽，就是只有感染一人了；感染率就是1/64，即1.56%。
如果都是陽性，就是只有兩人感染：感染率就是1/32，即3.12%。
 
這樣的“樣本池”法，最好的結果就是，對全部64人，采了64次樣，但是僅僅做了7個測試，就完成了對全部64人的測試。每個人都必須被採樣，這是必須的。但是，不是每一個人都需要做測試。最好的情況，就是只做了7次測試，就查清了64人。7/64，即是挨個檢測的11%的檢測量。
 
對於昂貴的耗料耗時耗人工的核酸檢測來說，“樣本池”法是非常有效，非常經濟合算的。極大地降低了測試成本！
 
這樣的“樣本池”法，也叫做“二分法”。
 
上面是最幸運的情況。如果不幸呢？我們來看看“最不幸”的情況。
 
如果這個32人的“樣本池”的測試結果是陽性，就必須對這個“樣本池”里的人重新來一次採樣和測試。可以一個人一個人的測試，找到具體誰是陽性，誰是陰性。不僅僅必須要對這32個人重新測試，還要對另一半的32人從頭開始。
 
也可以，對這個陽性的“樣本池”再來一次16人的混合樣本池，最壞的結果是陽性。不僅僅必須對這16個人重新測試，還要對另一半的16人從頭開始。
第三次是8人的混合樣本池，最壞的結果是陽性。不僅僅必須對這8個人重新測試，還要對另一半的8人從頭開始。
第四次是4人的混合樣本池，最壞的結果是陽性。不僅僅必須對這4個人重新測試，還要對另一半的4人從頭開始。
第五次是2人的混合樣本池，如果結果是陽性。那麼這最後四個人的每一個人都要採樣測試。
 
這樣的“樣本池”法，最壞的結果就是，對全部64人，每一個人都被重複了4次採樣和4次檢測。一共采了256次樣，做了256個測試。最終結果，最壞是64人都被感染了，百分之百的感染。最壞之下的最好的結果是，每個4人里只有一個人是陽性，另外3人都是陰性。就是四分之一，即25%的感染率。但是，仍然是要采256次樣，做256個測試。
 
這樣，“樣本池”法反而增加了工作量，還不如64人，每一個人都測試一次了。
 
所以，“樣本池”法的運用是有條件的，需要隨機應變，靈活運用的。
 
而且，“樣本池”太大了，可能降低了檢測的靈敏度。我前面用的32人的“樣本池”就太大了。這樣“誇張”的“樣本池”法，只是為了使得“減少測試量到11%”可以顯易而見。如果32人中只有一個陽性的話，陽性的濃度立刻就降低到了1/32，很可能就檢測不出來了。10人的“樣本池”就會把一個陽性的濃度降低到1/10。多大的“樣本池”是合適的呢？這就不是紙上談兵，而應該從試驗中總結出來。從微信上武漢大嫂的抱怨來看，在武漢的“大會戰”中，是採用了10人的“樣本池”。那個大嫂抱怨：“把我們十個人的樣品不注名地放在一個容器里”。大嫂說，“那查個鬼啊！”。這是因為她不知道到“樣本池”的理論。
 
那麼，我們就用10人“樣本池”來分析。如果這個“樣本池”是陰性，那麼這10人就全部是陰性，就節約了9/10的測試量。如果是陽性呢，就要把這10人叫回來重新測試。
改為5人“樣本池”，如果結果是陰性，這5個人都是陰性，不用再測試了。
對於其餘5個人，一一測試，總測試量就是7次，7/10，也減少了3次。
如果再採取3人“樣本池”，如果是陰性，這3人都是陰性，只要再分別測試剩下的兩個人就完成了。這樣的總測試量就是5次，減少了50%的工作量。
如果3人“樣本池”是陽性，那麼這5個人都要逐個測試。總工作量就是8次。8/10.
如果第一個5人“樣本池”是陽性，就重複上面的分析，總測試量大約為50%到80%。因為他們有把握，剩下的5人應該全是陰性。因為，在決定採用“樣本池”方法之前，他們已經做了前期試驗，得到了平均感染率是5%。但是，為了避免漏側，還是要對剩下的5人，做一個“樣本池”測試。這樣來，總測試量大約人人檢測的為60%到90%。
 
到這裡，我們要回過頭來說，“武漢大嫂”的抱怨是完全正確的，即使採用“樣本池”方法，不可能把受測試的老百姓，反覆的叫回來重新採樣，更要被老百姓罵死了！一次採樣的量必須夠用測試3次。
 
所以，那個大嫂抱怨：“把我們十個人的樣品不注名地放在一個容器里，那查個鬼啊！”。她是完全正確的。不管她懂不懂“樣本池”。
 
由此看來，“樣本池”的方法也只能用於第一步，頂多到第二步，到了4人“樣本池”，就沒有什麼優越性了。
 
對於美國斯坦福大學研發出來的抗體快速檢測來說，測試與採樣基本上就是一件事兒。除了昂貴複雜的核酸檢測，這樣的“混合樣本池”法，也就沒有多少優越性了。
 
我不是生化醫學領域裡的人，只是一個工程師，只是有興趣從簡單算術來理解“樣本池”的理論。本文不談如何政治問題，只是數學和邏輯。可能貽笑大方。歡迎專家批評指正。
 
 (全文到此結束)