我也談談平行電容器介質受力問題(一)

平行板電容器極板間放一塊介電常數為e 的固體介質。已知平板電容器的極板長度為 
L，寬度為 W ，極板間距離為 h ，極板間加電壓 u ，如果現在介質已插入極板間
部分的長度為x，求要將介質繼續往裡插得用多少力？如果其他條件不變，只是斷開電
池，繼續往裡插入要用多少力？

看到網友們討論這個問題，我感覺到這不是一個簡單的問題。我認為出題者可能也沒
想到這問題的難度。什麼是介質受力的來源？

有網友提出: 介質極化後靠近正極一邊分布負電荷，靠近負極一邊分布正電荷。介質
負電荷受到右邊正極板正電荷的吸力，同時又受到右邊負極板負電荷的斥力。但是由
於介質負電荷與右邊負極板較遠，且有一個角度，所以斥力較小。合力體現吸力。同
理介質正電荷受到的合力也是吸力。

也有網友提出：是電容的邊界效應造成。

我贊成第一種說法，合力是沒有介質區域的自由電荷對介質上極化電荷的作用力。按
照這個假定，加電源後介質受力情況與電源斷開後介質受力情況相同。介質全部推進
後，受力為零。

我提出這樣一個模型：設介質沒有插入時電容的容量為c0, 介質完全插入時電容的容
量為c1。令 Q0 = uc0，Q1 = uc1。

現在假定介質已插入極板間部分的長度為x，準備再插入dx。在插入dx前，加電源。

細條的電容是 dc0 = e0wdx/h， 電量是 dQ0 = udc0

電場能是 dE0 = u^2dc0/2                          (1)

在插入dx後，

細條的電容是 dc1 = e1wdx/h,  電源充電前,細條的電壓降到 v = dQ0/dc1

電場能是 dE1 = dQ0^2/(2dc1) = u^2dc0^2/(2dc1)    (2)

dE1 - dE0 = u^2dc0^2/(2dc1) - u^2dc0/2 = u^2(dc0^2/dc1 - dc0)/2 

= u^2dc0(dc0/dc1 - 1)/2                          (3)

dE1 - dE0 是在插入dx後，細條的電壓降到 v = dQ0/dc1，還沒有被周圍的電荷或
電源充電時的能量變化。這個能量變化與是否接電源無關。而周圍的電荷或電源對細
條充電是在插入dx後進行的,與介質受力做功無關。所以介質受力

F = (dE1 - dE0)/dx = u^2e0w(e0/e - 1)/(2h)       (4) 

F小於零，是吸力。這個結果與所有教科書上的結果不同。

一般教科書上的做法是 F = d(Q^2/2c)/dx             (5)
其中，c 是電容容量，Q 是電容電量。

如果我們把問題稍作修改：介質的長度比極板長度小，介質全部插入，且左邊空隙的
長度比右邊空隙的長度小。那麼按照合力是沒有介質區域的自由電荷對介質上極化電
荷的作用力假設，介質受到一個向右的力。但(5)給出的結果是受力為零。所以這個問
題還沒有完全解決。

對修改後的問題，(4)比(5)好。