ChatGPT-5真不錯！

在我的gmail 郵箱裡，躺着來自 ChatGPT-5 的一封電郵，裡面讓我試試它的效果。

這幾天我正在閱讀數學季刊《Fibonacci Quarterly》雜誌網站的內容，

https://www.fq.math.ca/list-of-issues.html

對裡面的一些問答題產生興趣，產生的一些問題上網一時找不到答案。就把問題丟給了GPT-5。

發現ChatGPT比前幾年大有進步，回答問題又快又準確。顯然，士別三日，就要刮目相看啦！

我問了關於 “兔子數（Fibonacci number/斐波那契數）”的幾個問題。雖然談不上深奧，但也並非是常見的數學問題。

1】

“Fibonacci 數中，只有形如4k+1的素數因數，沒有形如4k+3的素數因數.。其中k=0,1,2,...”

ChatGPT 馬上給出了幾個反例：

記F(n)為第n個Fibonacci 數，則F(8)=21=3x7，7就是4k+3類型的素數；F(16)=987=7x141，裡面也有7這個4k+3類型的素數。

其實，這個問題應該是：

"Fibonacci 數中，當n是大於等於5的奇數時，F(n)只有形如4k+1的素數因數，沒有形如4k+3的素數因數。"

2】

《Fibonacci Quarterly》中有一道題：

證明：nL(n) - F(n)總能被5整除，n是正整數。其中，L(n)是第n個Lucas 數，參見：

https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_number

Lucas 數與Fibonacci 數有類似的性質，兩者經常在一起混的。

這道題似乎可以用數學歸納法證明。其實不然：因為裡面的L(n)和F(n)都各有兩項：

L(n) = L(n-1)+L(n-2)，L(0) = 2, L(1) = 1；

F(n) = F(n-1)+F(n-2)，F(0) = 0 , F(1) = 1.

更重要的是：還有一個nL(n)中的倍數n摻和在裡面。

也就是說，要考慮的基礎條件不像一般的用數學歸納法證明的題目，僅僅證明 n=0或n=1時的情況就可以了。

解題者的思路，是令 Y(n) = nL(n) - F(n)這個包括兩個數列的遞推關係公式中：

L(n) = L(n-1)+L(n-2)，F(n) = F(n-1)+F(n-2)

找出一個特徵方程，然後再用數學歸納法證明這個特徵方程可被5整除。

我被卡住的地方就在於：

這個特徵方程看上去應該是 x^2 - x - 1，因為Lucas 數列與Fibonacci 數列的特徵方程都是x^2 - x - 1；但是解題者給出的特徵方程卻是 (x^2 - x - 1)^2.

由於 x^2 - x - 1 確實不能證明原命題，而 (x^2 - x - 1)^2 確實可以證明原命題，這說明 (x^2 - x - 1)^2 就是所求的特徵方程。

但是，為什麼是它？

帶着這個問題詢問ChatGPT，給出的答案出乎意料：特徵方程 (x^2 - x - 1)^2 與那個nL(n) 中前面的倍數 n 有關。ChatGPT 並給出了詳細的證明。

所以，今後有什麼問題就可以直接上網去問無所不能、百問不厭的好老師 - ChatGPT.5了！