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數學江湖之乾坤大挪移.十
送交者: 老尚童 2020年11月26日09:04:59 於 [茗香茶語] 發送悄悄話

經過漫長的插敘之後,下面我們正式回到費馬,來看看他和帕斯卡到底如何一起創造了【概率論】,以及這門學科給後世帶來的,幾乎延展到日常生活的每一個方面的深遠影響。

其實早在遠古,古希臘人就討論過偶然性和必然性的問題。而事實上,現今生活中,我們也有着本能一般的能力,來判斷某些事情到底發生與否----前提是這些事情存在可能性

而這其實貫穿了我們日常活動中的很大一部分,比如,你在過馬路時,看到遠方有車輛駛來。那麼,你便會根據車距、車速、馬路的寬度、自己的行走速度等等,對安全與否有個大致的判斷-----雖然這種直覺並不見的總是對的。

因此,人們對於【可能性事件】的研究,一直模糊不清,而有限的討論也僅僅局限於哲學的範疇。直到1654年,當時的巴黎上流社會正盛行以娛樂為目的賭博遊戲----其中有些成為了現在【博弈論】的一部分。

其中一名名叫安托瓦尼.貢博的梅雷騎士經人介紹認識了帕斯卡,然而他作為一個職業賭徒,正沉迷於一種點數遊戲。順便說一句,此人是路易十四宮廷的紅人,也正因為此,帕斯卡對他的提問 也格外重視。他所喜歡的賭博遊戲的規則有些類似於如今的24點,即哪個賭徒先得到一定的點數,則獲勝得到全部賭金。

然而,貢博在一次賭博中,因為要務必須馬上離開,那麼賭局就被提前中斷了。在這種情況下,如果把錢全部給那個點數最多的賭徒,大家都不滿意。因為點數多並 不意味着這個人更容易贏。於是,貢博就把如何更加公平合理的分配賭金問題,留個了帕斯卡。因為他聽說帕斯卡是個數學家,在那種年代,數學家在普通公眾心中,大概類似於職業解題家的雜耍者。

帕斯卡在與費馬的通信中談到了這個問題,他倆都獨立而迅速的發現,這個問題本身的解答並不太難。通過計算遊戲所有的可能,並對每一種可能的結果推導出它出現的幾率,然後根據這個幾率來分配賭金,就可以完美的解決貢博騎士的難題。

然而,帕斯卡與費馬的互相交流,激起兩人對問題進一步的挖掘。天才們很快意識到,對更複雜和更微妙的類似問題的解答,是非常有趣而有意義的。----這也正是數學家的一個特徵,他們很難被一個特定的問題所滿足,他們所追求的,正是具有【普遍意義】的答案。

很快,帕斯卡和費馬就奠定了【組合分析】的基礎,以及概率論中最重要的一個基本概念----【數學期望】。所謂組合分析,即找出做一件事情有多少種方法,或者某件事情發生有多少種可能。顯然,它與概率論可以說是密不可分的。幾乎所有的概率計算都要牽涉到組合數學。

帕斯卡在這樣的計算中,大量運用了一個算術三角形----亦即我們所稱的【楊輝三角形】。即

                   1

                1   1

             1   2   1

          1   3   3   1

       1   4   6   4   1

    1   5  10 10   5   1


這個三角形從頭兩行以後的各行,除了首尾的兩個1,其他的數字都是由上一行左右相鄰的兩個數相加而得來。同時,它第n行中的數也就是(1+x)n次方按二項式定理展開的係數。此三角形的應用非常廣泛,其性質也非常奇妙。不少古人很早就知道了它,但獨創性的把其運用到概率論中,帕斯卡是第一人,因而之後西方也以【帕斯卡三角形】(中國人又受不了了)命名它。----除開意大利人稱其為【塔塔利亞三角形】

費馬的工作則在於,他創造性的把賭徒獲勝的概率(費馬本人並未使用概率一詞)和賭金相乘,得到的數字作為衡量一名賭徒的期望獲得值----而這正是了現今我們所用的【數學期望】概念的雛形。

帕斯卡把這個概念曾記錄在他的思想錄里,並用來論證宗教信仰的價值:在他看來,

【哪怕通過虔誠的苦修而獲得永恆幸福的概率非常小,但是永恆幸福本身的價值是無限大,所以宗教是值得人們信仰的】----

這理論本身不是嚴密的,然而帕斯卡心甘情願的相信它。

和所有新生的學科一樣,在得到高速發展的同時,概率論也得到了部分的質疑。1657年,惠更斯發表了《論賭博中的計算》,使得概率論系統進一步完善和被廣大數學界所知。

然而,概率本身也帶來了很多奇妙的----甚至於直覺相悖的結論----這就導致了當時的宗教法庭對這一理論持懷疑態度。三個世紀後,貝特蘭羅素的一句調侃也許更為恰當描述了這種科學與直覺之間的矛盾:我們怎麼可以談論【機會】的【規律】呢?機會不正是規律的對立面嗎?

最著名的例子之一就是生日悖論。它並非嚴格意義上的邏輯悖論,其本身並不能導致什麼矛盾的結論----然而,它的結論,基於數學的理性的計算,與我們的感性認識,有着如此大的差距,以致於好多人一開始都無法相信它的正確性。

其中一種表述是:一個23人的房間中,有2個人同一天生日的可能性超過50%。那麼也就是說,當有人跟你打賭一個足球場上(包括裁判)在內,有沒有兩人同 生日時,你一定要押肯定的那一邊,贏面才會比較大。這個問題,憑直覺似乎是不正確的,區區23人的生日,放到一年365天這樣的大區間裡,撞車的幾率應該 是小得可憐的23/365=6.3%。

更驚奇的是,在23人的時候,這個概率還只是略微大於50%,然而當人數增加到57人時,有兩人生日相同的可能性已經達到97%,接近於必然了。具體的計 算方法有多種,以經典的組合分析為手段的話,我們往往考慮這類問題的反面----23人中,沒有兩人同一天生日的概率。

具體的等式在此不再贅述,有興趣的人可以作為一道趣味數學題。不少教科書上都有詳細解答。但正確的答案和直覺之間的巨大差距,可以用下面一幅圖來更直觀的表示。

其中綠色的曲線,即表示在n人中,存在兩人相同生日的概率。可見它的增長非常不平緩,隨着n的增大----即人數的增加,概率會如直升機般飛速上升,到 60左右已經就非常接近於1.0;呃;而藍色的直線(圖上稍有彎曲)表示我們直覺上的概率(是n的一次即線性函數),同時,它也表示,在n個人中,有人【與你同一天生日】的概率。它的上升速度相對就要平緩得多。

那麼,為什麼我們會有如此錯覺的原因也就很明顯了。人們在看到類似有人生日相同的問題時,總是下意識的替換為與我生日相同,那麼其實處理的,就已然不是同一個問題,故有天壤之別。

而只有概率論,才能解開這種錯誤的面紗,並予以類似問題真正正確的理論支持。到了現代,這個分支的應用已經遍及我們日常生活的許多方面,生物及物理方面的 測量,銀行及保險業的大量數據統計,等等。雖然這門學科的起源來自於一個卑微的問題,但正是這些微不足道的例子,導致了數學上許多學科的誕生,讓天才和後 來的繼承者們發現了其內部的深奧的,一般性原理。

除了奠定了概率論的基礎,費馬在解析幾何和微積分領域也做出了開創性的偉大工作。然而,他在解析幾何中創造的手法,和笛卡爾有本質的不同。這當然關繫到兩 人的哲學觀。笛卡爾是一個實用主義者,他甚至覺得歐幾里德幾何中,那種依賴於圖形的巧思般解法,是對想象力的一種浪費。----沒錯,笛卡爾是個激進的改革者,他批判了古希臘的幾何。

因此,他把代數用於幾何,完全是雙方取長補短的一種手段,並且主要目的是用來創造一種具有【一般性】的方法,可以來批量解決作圖問題和其他幾何問題。其結 果是,這種混合,使得解析幾何稱為具有廣闊開發前景的學科,但同時導致了包括牛頓在內的一些人的批評----雖然有些人也使用這個工具。不過此乃後話。

而費馬這個純樸的老實人,卻不是這樣。在他的小冊子《平面和立體的軌跡引論》中,有這樣的敘述:只要在最後的方程里出現了兩個未知量,我們就能得到一個軌跡,並描繪出一條直線或者曲線。這比笛卡爾7年後的成果更加 直白,雖然費馬並不使用負坐標。但在後面的例子充分顯示費馬完全理解坐標軸,他也允許它們做平移或旋轉,以此來得到一些更加複雜的曲線方程。

費馬在思想上,是古希臘幾何的繼承者。他借用韋達的代數解決幾何方法,對阿波羅尼烏斯的幾何,做了一種重新表述。在這一步上,費馬的傳統也許使他的解析幾何不如笛卡爾那樣有革命性,但他在之後的爭論中再一次的顯示了他的寬厚。

當笛卡爾發表了其《幾何》之後,關於解析幾何發現優先權的爭論,就在當時的學界持續了將近十年。顯然的,我們的神童帕斯卡等人支持費馬,而德薩格等人則支持笛卡爾。笛卡爾這個人吵架是家常便飯,因而打嘴仗是相當了得。

他諷刺的稱費馬為極大和極小大臣----費馬曾發表論文《求極大值和極小值的方法》並說費馬欠了他的債。費馬雖然有朋友幫他還擊,但在1660年的一篇文章中,費馬卻宣稱他是如此的佩服笛卡爾的天才,雖然後者的工作里有一些錯誤---費馬所指出的並且確實如此,但他這些錯誤甚至比絕大部分人沒有錯誤的工作,而更有價值。而以現代觀點來看,費馬在解析幾何中的強調軌跡, 可以說是更超前於那個年代的天才火花。

而在幾何的研究中,費馬很自然的會遇到求切線、求最大值最小值等問題----而這些正是微積分的起源之一。但鑑於篇幅,我們把這些放到牛頓的章節中再詳細敘述。

概率論、解析幾何和微積分,任一方面的成果都足以讓費馬留名青史。然而,這些都還不是費馬最熱愛的,他最熱愛----同時也是他最傑出---的領域就是數學的皇后,【算術】或者叫【數論】。


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