《宇宙的靈魂、人命與廣相論》

                  ——有厭惡、沒有愛，即為入魔……

親愛的朋友，

須知宇宙之所以生生不息、長久存在，

是因為宇宙有道。

道，即宇宙的生命。

道，是天地之魂（魂靈體現在精神上）。

人，之所以能健康長壽，

是因為人——之所思、所想、所作、所為

——皆合天道。

合道之人、生命久長。

合道，就是一個人的靈魂（精神）

在天地舞台的全本上演。

天道是‘和諧’‘仁愛’的同義詞 ！

天道，即是日月的胸懷；

天道，即如山河般實在、

天道，即如大地般穩重……。

但是如今，

人們卻看到，一些偏激之士，

對世俗是厭惡、大過仁愛。

宇宙的本質、宗教的本質，是愛 ！

有信仰的人，即便批判社會，

亦不離那份對眾生厚厚的愛，

如果只顧指責，那是魔。

魔的行徑，為主唾棄。

任何人不能打着基督的招牌，

來反覆、多次、全面、徹底地

發泄對中華民族、對中國文化的憎惡，

這種情緒的發泄，與主不容、

且與主，背道而馳。

另外，還有些人，天天互相謾罵攻擊，

互視對方為仇敵、或者長期以來，

持續地 以對方為嘲諷對象，

搞得海外芸芸、不知所從。

一些人滿懷情緒地經常發各種視頻，

這些人上網，不是為清洗自己，

而是專門去挖別人的隱陋、

然後曬出來，嘲諷打擊，以顯高潔——

沾沾自喜於擁有海量從眾——

殊不知點擊量越高，

或許只是為日後攢下海量的‘口業’而已。

試問朋友，

一時的枉得，豈能長久。還是少罵一句吧。

目前，我們別彆扭扭所學的廣相論，

只是宇宙的物理規律，

當然，這物理規律終究是逃脫不了精神的掌控的。

學習廣相論，即是學習宇宙博大胸懷的一小部分。

學習，可以順便陶冶、重組

或重新學習新的宇宙觀、人生觀。

若從狹義角度、從物理角度說，

宇宙就是生活在許多公式定理以及

諾大的宇宙就是運化在許多術語概念中的。

好，下面，還是讓我們接着學習

張天蓉的長篇科普文章吧

（註：為適合更多人，編者添加了一些圖畫，

敘述文字也有些微改動）。

一分耕耘、一份收穫。天道酬勤噢。

廣義相對論之14

          ——什麼是曲率和橈率？

朋友，前面說到，

羅氏幾何（非歐幾何之一）在當時看來很古怪，

羅氏幾何得到古怪而不合常理的命題是必然的，

因為被羅巴切夫斯基改變之後的

第五公設（平行公里），

本身就與日常生活經驗不符。

過平面上直線外的一點，

怎麼可能作出多條不同的直線，

與已知直線不相交呢？

由此而建造出來的數學大廈，當然是個怪物。

比如說，

羅氏幾何導出了如下古怪命題：

一個三角形的三個內角之和，小於180度……

這種奇怪的“幾何大廈”，又有什麼用處呢？

有人嗤之以鼻，心想，

不過是瘋子數學家玩的遊戲而已！

那些嘲笑羅巴切夫斯基的人沒有料到，

幾十年後，非歐幾何在愛因斯坦的

廣義相對論中找到了用武之地，

它正是廣義相對論描述的

一種彎曲空間所遵循的幾何！

🎂 幾何上的無窮小

不過，真正與彎曲空間有關的是

“黎曼幾何”，

它比上面所說的‘非歐幾何’更進一步，

“黎曼幾何”屬於‘微分幾何’*。

【*微分幾何是運用微積分研究空間的幾何性質的數學分支。

 古典微分幾何，研究三維空間的曲線、曲面；

現代微分幾何研究更一般的空間--

流形性質（後述）。 

微分幾何與拓撲學*等其他數學分支有緊密聯繫。

廣義相對論就是以微分幾何中的

黎曼幾何作為其數學基礎的。

*拓撲是研究幾何圖形或空間

在連續改變形狀後，還能保持不變的

性質的一個學科。參見下面視頻】

歐幾里德之後，笛卡爾發明了解析幾何*

（在中學課本中，解析幾何被解釋為：

採用數值的方法來定義幾何形狀，

並從中提取數值信息。

這種數值的輸出可能是一個方程或者是一種幾何形狀）。

牛頓和萊布尼茨發明了微積分。

兩者之結合

使得那個時代的數學和物理如虎添翼，面目一新。

像羅巴切夫斯基那樣使用傳統的公理方法

來研究幾何，顯然要輸人一籌。

克萊洛以及高斯等人，認識到了這一點，

創立並發展了微分幾何。

微分幾何的先行者、法國克萊洛（1713 - 1763）

對空間曲線進行了深入研究，

第一次研究了空間曲線的曲率和撓率。

什麼是曲線的‘曲率’和‘撓率’呢？

我們從圖1a所示的三條平面曲線來認識曲率。

   圖1：曲線的曲率和撓率

圖中三條曲線，就像是三條形狀不同的

平地上的高速公路。

我們首先需要引進曲線的切線，或稱之為

“切矢量”。切矢量，即是，當曲線上兩點

無限接近時，兩點連線的極限位置所決定的矢量。

圖1a所示的公路上標示的‘箭頭’，

便是在曲線上各個點‘切矢量’的直觀圖像。

曲率是什麼呢？

曲率表徵曲線的彎曲程度。

比如，圖1a中最上面一條公路是直線，

直線不會拐彎，我們說，

它的彎曲程度為0，即曲率等於0。

‘切矢量’轉得越快，曲線的彎曲程度也越大。

‘切矢量’，說白了，

就是汽車在公路曲線上彎曲的程度。

數學上把曲率定義為‘切矢量’對於弧長的旋轉速度。

平地上彎彎曲曲的公路可以看作是平面曲線，

用“曲率”可以描述它們。

如果公路修在山中，

它們一邊轉彎一邊還要盤旋向上或向下。

這時候，汽車駛過的路徑便不再是‘平面曲線’，

而是‘空間曲線’了。

對於山間公路，如圖1b所示，

我們除了可以看到其彎曲的程度之外，

還能觀察到公路往上（或者向下）繞行的快慢。

我們將這個描述繞行快慢的幾何量叫做“撓率”。

一條空間曲線的曲率和撓率，

空間的變化規律，決定了這條曲線的狀況。

從上面對‘空間曲線’的研究，

可以看出微分幾何的方法，

比歐氏幾何公理式的方法要強有力。

與曲線類似，微分幾何可以用在研究曲面上，

曲率和撓率的概念，能推廣到曲面上，

曲率和撓率可以定義複雜得多的曲率張量

{在微分幾何中，曲率張量即黎曼張量

是表達流形曲率的標準方式——詳見後面}。

  未完待續，謝謝。