我只能列出我稍微熟悉一點的方向，還有一些個人的解釋。

(1)Gromov-Witten 不變量
來自於辛幾何，起源於Gromov那篇經典的文章。真正的進展是Witten的工作，以及後來很
多人的努力，包括Y. Ruan, Kontsevich&Manin, Gang Tian, Fukaya, Jun Li, Eliashbe
rg, Ionel&Parker，K. Liu 等等。其中值得注意的是Jun Li&Gang Tian定義了Virtual f
undamental class,使得Gromov-Witten不變量可以在一般的辛流形上定義（以前只能對某
一類辛流形有定義），並且定義了代數的Gromov-Witten不變量.在這基礎上，後來有人推
廣了Atiyah&Bott的Localization到這種情形下，並結合Kontsevich的想法，使得具體的計
算成為可能。

(2)Selberg-Witten 不變量

(3)Donaldson polynomial
70年代末，ADHM等人構造了S^4上的instanton的模空間, 在對這個例子的計算中可以看到
一些Cobodism的痕跡。Donaldson首次利用4流形上的這個模空間構造了一個4流形到#CP^2
(n copies)的Cobodism, 後來他在模空間上對一些特殊的微分形式積分，得到了多項式不
變量。具體的很長，可以看他的那本4流形的幾何學。

(4)Mirror Symmetry
其中有A_{infinity} algebra, Fukaya Category,
Floer Homology（用來解決了Arnold Conjecture,有很多推廣形式),
Derived Category of coherent sheaves(據說是描述D-branes的正確數學語言，呵呵),
Special Lagrangian submanifold,
Dexxxxation Quantization(Kontsevich的研究方向，忘了最早提出來的人的名字了，不過
他曾經用這個做過Index定理的推廣)

有一件事情很有趣，如果你在教室門口聽到裡面在講Calabi-Yau的模空間，那你千萬不要
認為那是數學講座，幾乎可以肯定地說，那是物理系講座，因為還沒有數學家可以這麼自
信的說這個模空間存在（或者到底怎麼定義），更別說他是什麼樣子的。

(5)Hodge Conjecture
這是七個百萬美金問題之一，其他的有Riemann Hypothesis,BSD Conjecture,Yang-Mills
Theory,Poincaré Conjecture,NP,Navier-Stokes Equations.

(6)Motive
大概是Grothendieck最先提出來，當時為了解決Weil Conjecture,但一個成熟的數學家知
道，為了解決問題而解決問題是沒有前途的，很多問題背後是有理論依據的，用一套孤立
的方法來解決一個問題是遲早要被淘汰的，所以Grothendieck兄就在找Weil猜想背後的整
套理論體系，使得這個猜想只是他的一個小推論。這個目標至今沒有實現，Deligne的證明
在G兄看來可能不過是權宜之計，並沒有真正解決問題，所以他在1968年說代數幾何的當務
之急是證明Resolution of singularities以及他提出的Standard Conjecture(關於Algeb
raic Cycle的）。

(7)Resolution of singularities
這是一項宏偉的工作，特徵0的情形被日本數學家Hironaka在60年代初證明，就是那個號稱
邏輯結構最複雜的證明，一個證明就拿了Fields Medal。特徵p的情形大概只證到3-fold。
現在還是很多人在想辦法簡化Hironaka的證明，但一直辦不到。

(8)Standard Conjecture
現在風風火火的，就是所謂的Motive理論，G兄說它是代數族算術性質的基本理論。