（第一節）

　　如果說現代物理開始於量子物理，經典物理則終結於愛因斯坦
的廣義相對論。廣義相對論的時空觀無疑徹底改革了牛頓的時空觀，
但牛頓本人很清楚他的時空觀的局限。愛因斯坦用相對論的因果律
代替了牛頓的絕對時與空中的因果律，所以說愛因斯坦的時空概念
與因果概念仍然是經典的，廣義相對論是經典物理的極致。

　　這個經典物理中的最高成就一直拒絕被量子物理所改造。所有
相信弦論的人都認為引力已被成功地量子化，至少在微擾論的層次
上。一些執著於幾何是一切的人則認為還不存在一個成功的量子引
力理論，他們在一定程度上承認弦論的成功，霍金 (S. Hawking)以
及特霍夫特 (G. 't Hooft) 可以被看成這方面的代表，雖然前者較之
後者更極積地支持弦論。我們希望在本章的結尾時看到，弦論家的
觀點和弦論同情者的觀點都有一定道理。而第三派則採取鴕鳥政策，
認為引力還是原來的引力，星星還是那顆星星，這樣有助於他們繼
續發表各色各樣的理論。

　　我們假定讀者已學過狹義相對論，甚至一點廣義相對論，這樣
我們就可以相對自由地從不同角度來看廣義相對論。

　　廣義相對論的基本原理是等效原理：在引力場中，在時空的任
何一點都可以找到一個局部慣性系，物理定律在這個局部慣性系中
與沒有引力場時完全相同。愛因斯坦本人更喜歡將局域引力譬喻成
局部加速所引起的結果。這樣，局部慣性系類似於黎曼流形中一點
的切向空間，加速則可以用一個二次的座標變換來消除。引力可以
用黎曼幾何中的度規來描述，在一個局域慣性系中，度規變成狹義
相對論中的閔氏度規。愛因斯坦進一步說，如果引力效應可以用一
般的座標變換來消除，則該引力場完全等價於無引力場。如此則一
個非平庸的引力場必須具有曲率。愛因斯坦的引力理論是標準的場
論，而他相信物理的基本要素就是場，這是他高度評價麥克斯韋工
作的原因。

　　一個試驗粒子在引力場中的運動軌跡是測地線，而運動方程可
以由變分原理得到。這個變分原理說，連結時空兩點的粒子軌跡使
得總的粒子的固有時成為極大——粒子的固有時是歐氏空間中測地
線長度在閔氏空間中的推廣。這種幾何變分原理早就用在光學中，
光的軌道使光程取極小值，這是費馬原理。當地球環繞太陽運動時，
人們可以想象，太陽產生的引力場使得太陽周圍的時空發生一點點
彎曲，從而使得地球的測地線發生彎曲。在時空中，這個測地線並
非是閉合的。一般說來，它在空間中的投影也不是閉合的，這樣就
有了水星近日點進動——這裡，時空同時彎曲起了關健作用。同樣，
一個無質量的粒子如光子在引力場中的測地線也是彎曲的，儘管光
的固有時總是為零，測地線的變分原理稍稍有點複雜。愛因斯坦在
廣義相對論完成之前就預言了光線在引力場中的彎曲，他僅用了等
效原理，這等價於僅僅用了度規的時間份量，這樣算出的彎曲角度
是正確結果的一半。同樣，要算出正確的結果，必須計及空間的彎
曲。

　　決定時空曲率的是物質的能量和動量分布，這就是愛因斯坦著
名的引力場方程。在方程的左邊是一種特殊的曲率，現在叫做愛因
斯坦張量。在方程的右邊是能量－動量張量。愛因斯坦經過斷斷續
續八年的努力，在 1915年年尾才最終寫下正確的場方程。(從1907
到1911 有三年半的時間，他發表了關於經典輻射理論的文章，關於
狹義相對論，關於臨界彌散，甚至嘗試修改麥克斯韋方程以期得到
光量子，就是沒有發表關於廣義相對論的文章。)

　　1915年11月25日，愛因斯坦在普魯士科學院物理－數學部（那
時的科學沒有今天專業化得利害，今天的一些物理學家往往以不能
與數學家溝通為自豪）宣讀了一篇題為《引力的場方程》的文章。
他說：“相對論的一般理論作為一個邏輯體系終於完成”。

　　1915年11月，愛因斯坦每一個禮拜完成一篇文章。11月4日，
在一篇文章中他寫下不完全正確的一種場方程，該方程線性化後
成為牛頓－泊松方程。11月11日，他寫下另一個場方程，方程的
左邊是里奇 (Ricci) 張量，方程的右邊是能量-動量張量，他還要
求度規的行列式等於一。11月18日，愛因斯坦仍然相信度規的行
列式必須等於一。在這篇文章中他發現兩個重要效應，愛因斯坦
非常運氣的是太陽的中心力場對應的度規的行列式的確等於一——
瓦茲希爾德於次年一月發現了嚴格解，五月即死於在俄羅斯前線
得的一場病。愛因斯坦發現的第一個效應是水星近日點進動。勒
維利埃(Jean Joseph Le Verrier) 1859年觀察到的水星每百年45秒的
進動完全可以用愛因斯坦的新的理論來解釋。這個發現是如此令
人激動，愛因斯坦此後一連幾天不能平心靜氣地回到物理上來。
第二個發現是，他以前計算的光線彎曲比正確的結果小一半，這
時他計及了度規的空間部份。11月25日，愛因斯坦寫下了一直沿
用至今的引力場方程。愛因斯坦放棄了度規行列式等於一的物理
要求，但將它作為對座標選取的一種條件。愛因斯坦當時還不知
道場方程的左邊滿足比安基等式，從而方程右邊自動滿足能動量
守恆定律。能動量守恆定律被愛因斯坦看成一個條件。

　　由於引力常數很小，引力往往在一個很大的系統中才有可觀
測效應。相互作用的大小通常可以用動能與勢能之比來定，對於
處於束縛態的系統，這個比例大約是1，所以我們常常說束縛態
是非微擾的。不需要計算，我們知道地球在太陽引力場中的勢能
大約等於它的動能。同樣，電子在氫原子中的電勢能大約等於它
的動能。可是電子與氫原子的原子核——質子——之間的引力相
互作用就非常非常小了，它與電子的動能之比大約是10的負40次
方！所以我們常常說引力是自然界中最弱的相互作用。用廣義相
對論的語言說，時空非常難以彎曲。看一看愛因斯坦的場方程，
它的左邊是曲率，右邊是牛頓引力常數乘以能－動張量。能－動
張量引起時空彎曲，而牛頓引力常數則很小，可以說時空的強度
則很大——比任何金屬要大得多。

　　在談到廣義相對論的實驗驗證時，人們常提到的是三大經典
驗證：引力紅移，光線彎曲和水星近日點進動。時至今日，廣義
相對論通過了遠遠不止這些驗證。即使當驗證還很少時，人們已
經認為廣義相對論是有史以來最完美和最成功物理理論。恐怕即
使今天人們還可以這樣說。廣義相對論的最完美之處在於它是一
種原理理論，即整個理論建立在一些簡單的原理之上，儘管它是
一個物理理論，它的邏輯結構幾乎可以媲美於歐幾里得幾何。它
也是有史以來最成功的理論之一，它解釋了所有己知的宏觀的包
含引力的系統，這包括整個可觀測宇宙在內。其精度經常在萬分
之一，在等效原理情形，精度已達10的負13次方！

　　廣義相對論的完美主要來源於它所用的基本語言：幾何。可
以說愛因斯坦的直接繼承人，今天仍然活躍的即那些在gr-qc電子
檔案館貼文章的人，仍然堅持用這種語言。這種語言似乎與量子
力學有着本質的衝突，從而與粒子物理學家所慣用的語言有着本
質的衝突。這裡我們不想強調這種衝突，但了解這種衝突的存在
是有好處的。60年代之前在相對論界和粒子物理界之間存在着很
少的對話，這在費曼的故事中很好地體現出來。費曼有一次參加
在北卡州 (North Carolina) 召開的相對論界的會議。他出發之前忘
記了帶詳細地址，所以他下了飛機後向人打聽有無看到一些相對
論專家去了何處。人家問他相對論專家是一些什麼樣的人，他說，
就是一些嘴裡不停地念叨Gmunu 的人，這人很快知到他指的是誰。

　　廣義相對論與粒子物理的語言衝突在溫伯格 (Steven Weinberg)
的名著《引力論與宇宙論－廣義相對論的原理與應用》中也顯示
出來。溫伯格嘗試着用粒子物理的方法重新表達廣義相對論，僅
取得部份成功。記住溫伯格與費曼最早試圖由自旋為2的無質量
粒子及相互作用推出廣義相對論，今天我們知道，人們的確可以
證明廣義相對論是唯一的自旋為2的無質量粒子的自洽相互作用
理論。但這個證明是一級一級的證明，很難看出其中的幾何原理。

　　廣義相對論與粒子物理本質的不同還可以從引力波的效應的
計算看出。早在1916年愛因斯坦就指出在他的理論中存在引力波。
到1918年，他給出引力輻射與引力系統的四極矩關係的公式。不
同於電磁系統，自旋為2的粒子的輻射與偶極矩無關。不同於電
磁系統，那裡的輻射公式從來就沒有人懷疑，而引力系統的引力
波輻射是否完全由四極矩公式給出長期引起爭論。爭論的原因是
引力是一個高度非線性理論，引力勢能本身也會影響引力波輻射。
愛因斯坦本人在1937年曾短暫地懷疑過引力波的存在。有趣的是，
關於 引力波輻射的第一級效應的爭論直到1982年才完全得到解決：
愛因斯坦的四極矩公式是正確的。當然，引力波輻射的效應已在
脈衝雙星系統中被間接地觀察到，這個工作也已獲得諾貝爾獎。
今年或今後幾年，引力波可能被引力干涉儀直接觀測到，這將成
為繼最近的宇宙學中激動人心的觀測又一令人激動的天文觀測。
這也將極大推動相對論界與粒子物理界之間的對話。