黎曼猜想是什麼（２）

2. 算術基本定理與黎曼zeta函數。

算術基本定理又叫唯一分解定理。這個定理是說，每一個大於1的正整數N都可以寫成有限個質數（或者素數）的乘積；這個乘積叫做N的因數分解。N的因數分解中的質數因子可以有重複但是其個數是由這個被分解的正整數確定的，不同整數的分解是不可能相同的。這個定理幾乎有兩千年的歷史。 算術基本定理描述了全體素數是整個大於一的正整數之集合的生成集；就是說從所有素數的集合出發，把所有有限乘積都加進去就得到了所有大於1的正整數之集合。

描述質數之個數的結論叫做素數定理，這個定理根據估計的準確度可以有多種不同的形式。固定任何一個比一大的正整數N，通過簡單的實驗人類很早就知道在一到N之間我們可以期待有少數質數。比如在1到10之間有2，3，5，7這四個質數；占幾乎五分之二。 這個比例平均地講隨着N的增加在減少，實驗結果告訴我們在一到N之間大概有 M =log（N)　分之一的整數是質數。這裡的　log(N)　是類似與常用對數的（以ｅ為底的）自然對數。這個ｅ是繼圓周率ｐｉ之後的第二個重要數學常數。用公式表示，通常把從一到N之間的質數個數表示為 pi(N)。這裡的　pi　用的是圓周率的同一個符號，但是不是指那個圓周率常數，而是用來表示質數計數函數。 最簡單的素數定理是說　pi(N)　大致等於N　與 log（N)　的商。　這裡的大致必須用數學詞彙準確地描繪。 其他精確的素數定理就要給出對這個函數的更精確描寫加上對誤差的估計。

在黎曼之前，高斯對質數計數函數有一個猜測，那就是用現在叫做　高斯的(logarithmic integral) 對數積分函數 li（N) 來代替上面所提到的N與log（N)之商。高斯對後來叫做黎曼zeta函數的那個數學對象已經有過一些研究。1859年，黎曼在他唯一關於數論的研究論文中引進複數作為變量，從而製造出現在叫做黎曼zeta函數的這個特殊函數。黎曼zeta函數是一個以複數為變量的函數，除了一個奇點以外這個函數在整個複數平面上是解析的。這裡用的的“解析”一詞，基本上就是微積分中無窮次可微分的意思。

要解釋什麼是黎曼zeta函數，我們還是從如何計算質數的個數說起。 數學發展到前兩個世紀中間的時候，已經有了非常成熟的無窮個數字相加的工具。　其實幾乎兩千年前就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法。如果把二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一，等等一切，一直加起來，可以想象其和為一。 嚴格地說，這就是現代數學系大學高年級里學到的“無窮級數”。定義黎曼zeta函數就必須要用到“無窮級數”與“解析”的概念，所以至少要到大學數學系接近畢業的學人們才可能真正理解黎曼zeta函數的定義。

這裡給出在某個場合本人曾經使用過的一個籠統解釋，那就是黎曼zeta函數其實就是把所有的正整數添加必要的附帶數據後然後巧妙地糅合在一起得到的一個函數。不難想象，有關整數的所有一切都被揉在裡面了。 因此可以說，這個函數既展示了宇宙的完美無瑕，又顯現出這個世界的雜亂無章。 對於數學家們的問題就是，如何從這個非常複雜的函數裡面找到清晰的數學數據。 

既然有無窮個質數存在，我們可以比如用每一個正整數的倒數來相加。事實上，所有正整數的倒數相加起來叫做調和級數。調和級數的和仍然是一個無窮大；而這正是黎曼zeta函數中唯一一個奇點的來源。如果把所有正整數的平方的倒數加起來，那麼得到的結果等於那個圓周率的平方除以6。這樣用來研究質數個數的黎曼zeta函數與圓周率也有着緊密的聯繫。事實上，所有的數學理論都是緊密地聯繫在一起的。作為開端，黎曼zeta函數被定義為所有正整數的其複數變量次方的和，比如我們必須定義2的pi次方是什麼意義。但是這個定義只對複數變量的實數部分大於一的時候有用，然後就要進行進一步的解析延拓把這個函數對所有複數變量都給予定義。除了在複數變量為一的時候為無窮大以外，其他所有複數變量對應的函數值都是有限的。這就是對於什麼是黎曼zeta函數的一個簡單解釋。

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