數學研究在古代只是在少數地方，由少數學者所從事的活動，到了17、18世紀，由於數學教育的發展，數學知識的傳播，數學迅速地在英國、法國、德國、意大利、俄國等國發展起來．其中最突出的有一個是法國數學學派，他們中的大多數來自巴黎理工科大學，另一個是以哥廷根大學為中心的德國數學學派．發展成為一個廣闊的分析領域，並得到廣泛的應用．接着活躍在數學界的是法國的“三L”，即拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德．拉格朗日在方程論方面豐富了代數學的內容，在數論、連分數、微積分、微分方程、變分法等方面都寫了大量的論文．傅立葉和柏松是19世紀初葉的法國兩顆數學明星，他們都從事應用數學的研究，並且在巴黎高等理工科大學任教．1822年，傅立葉發表了著名的《熱的解析理論》，這是數學理論應用於物理的典範，它開闢了近代數學的一個巨大分支——傅立葉級數、傅立葉積分、傅立葉變換，這些統稱為傅立葉分析．在數學分析的發展史上，極限理論的建立具有劃時代的意義，這一工作是由大數學家柯西、外爾斯特拉斯等人完成的．柯西出生於巴黎，1805年入巴黎高等理工科大學，並獲得拉格朗日和拉普拉斯的賞識．柯西興趣廣泛，他的數學專著、講義和論文據統計超過七百種，有26卷之多，在數量上僅次於歐拉．柯西是數學分析方面集大成的人物，數學分析方面主要著作有三本：《分析教程》、《無窮小計算概要》和《微分學講義》．這幾部著作具有劃時代的價值，給出分析學一系列基本概念的嚴格定義，奠定了以極限論為基礎的現代數學分析體系．

　　19世紀末，世界數學中心在法國，龐加萊是首屈一指的權威，是高斯和柯西之後無可爭辯的數學大師．龐加萊是一個數學的“萬能者”，可以說是能對數學的所有分支(純粹數學和應用數學)都作出貢獻的最後一個人．他在微分方程自守函數、天體力學、拓撲學的研究方面部具有開創性的工作，並產生深遠的影響．到本世紀初，法國數學漸漸集中在函數論方面，出現了波萊爾、勒貝格、畢卡等大數學家．由於第一次世界大戰法國把年青的數學家和大學生都送到前線大批死亡，這個函數論的王國後繼乏人，加上過份狹窄的研究領域，法國數學失去了世界數學中心的地位．

　　對20世紀數學的開創和發展起着核心作用的是德國哥廷根數學學派．20世紀哥廷根學派的全盛時期是從克萊因、希爾伯特開始的．克萊因以其著名的《埃爾朗根綱領》聞名於世，他從變換群的觀點出發，把當時已有的各種幾何學加以分類，他是哥廷根學派的組織者和領導者．希爾伯特在代數、幾何、分析乃至元數學上的一連串無與倫比的數學成就，使他成為無可爭辯的哥廷根數學學派的領袖人物．1900年，他在巴黎的國際數學家會議上發表演說，提出了著名的23個問題，表示他將領導新世紀的數學新潮流．從1900年到1933年，德國的哥廷根大學成為世界數學的中心．在哥廷根，閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，並為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；女數學家諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路．以上極不完全的列舉，已足以證明，德國的哥廷根確是國際數學中心．

　　1933年希特勒法西斯上台，把哥廷根學派全毀了．瘋狂的排猶，使得哥廷根的主要數學家移居美國．這裡只需列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數學家和物理學家的部分名單，就可見人材轉移之一斑了．

　　愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學家)

　　弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學獎)

　　馮·諾依曼(1903～1957，本世紀傑出數學家之一)

　　柯朗(1888～1972，哥廷根數學研究所負責人)

　　哥德爾(1906～1976，數理邏輯學家)

　　諾特(1882～1935，抽象代數奠基人之一)

　　費勒(W．Feller，1906～1970，隨機過程論的創始人之一)

　　阿廷(1896～1962，抽象代數奠基人之一)

　　費里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，應用數學家)

　　外爾(1885～1955，本世紀傑出的數學家之一)

　　德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)

　　此外還有波利亞、舍荀(Szegò)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)．

　　外爾和馮·諾依曼在美國的普林斯頓高等研究所任教授，諾特則在普林斯頓附近的Max Bown女子學院，柯朗在紐約大學任教，創辦了舉世聞名的應用數學研究所．從此以後，美國數學居世界領先地位，普林斯頓取代哥廷根成為世界數學的中心，一直至今．

　　俄羅斯是當今的又一數學大國．俄國的數學有良好的傳統，早在18世紀，歐拉這位大數學家在彼得堡工作過31年，19世紀俄國出現了創立非歐幾何蜚聲全球的數學家羅巴切夫斯基．19世紀後半葉，切比雪夫培養了馬爾柯夫、李雅普諾夫等優秀數學家，形成了以切比雪夫為首的彼得堡學派．進入20世紀以後，莫斯科學派發展迅速，在函數論方面作出巨大世界貢獻，自20年代以來，莫斯科的函數論學派取代法國躍居首位．該學派的創始人是葉戈洛夫和魯金．莫斯科學派人才濟濟，亞歷山大洛夫是本世紀拓撲學奠基人之一；柯爾莫戈洛夫是一位數學天才人物，他將概率論公理化尤為人所稱道；邦德里雅金是著名的拓撲學專家等．康脫洛維奇也是蘇聯著名數學家．他最出名的工作是在研究國民經濟計劃上提出的線性規劃解法，目前已成為經濟數學最基本的課題，具有強大的生命力．為此獲得1975年諾貝爾經濟獎．60年代以後，蘇聯數學更有重大進展，阿諾德(Arnold)、諾維科夫(Novikov)、曼寧(Mannin)等年輕人在拓撲學上有重要成就．現在的莫斯科也被人們視為世界的數學中心之一．

　　在本世紀20年代末30年代初，法國的一批年青的數學家迪多內(Dieudonnē，1906～)，威伊(A．Weil，1906～)，亨利·嘉當(H．Cartan，1904～)，薛華荔(C．Chxxxxley，1909～1984)，組成了名為布爾巴基(Bourbaki)的團體，倡導法國數學改革，提倡結構主義，研究整個數學，編著《數學原本》，在二次大戰後風靡一時，對20世紀數學有深遠影響．“布爾巴基”現在還活着，但是已經老了，更年輕的法國數學家在開拓新領域．現在巴黎又恢復了西歐數學中心的地位．

　　值得一提的是波蘭數學．這個曾被瓜分的小國，在1920年開始數學起飛，他們集中在一個相對狹窄的領域裡：集合論與泛函分析，形成了自己的特色，出現了一批傑出的數學家如巴拿赫(Banach，1892～1945)，夕爾賓斯基(Sierpinski，1882～1969)等人．他們的學生如Ulam、Eilenberg、Tarski等人後來移居美國等地，在世界數壇著稱．

　　日本，在1898年派遣高木貞治到德國哥廷根隨希爾伯特學習代數數論．1920年他創立實域論，使日本數學擠身於先進之列．第二次大戰後，小平邦彥、廣中平祐等人又獲世界最高數學獎——菲爾茲獎，與世界水平的差距不斷縮小．

　　數學大國美國和俄羅斯繼續領先，西歐緊隨其後，日本正在迎頭趕上．