“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一。”――中國先秦名家惠施

“無厚，不可積也，其大千里。” ――中國先秦名家惠施

“ 從一粒沙中看出一個世界，從一朵野花中看出一個天堂，握無窮於掌心，永恆於瞬息。”――英國詩人布雷克

“數學是無窮之學。”――數學家希爾伯特

“整個數學史，可以看作是離散與連續這兩個概念的論爭史。”――數學史家倍爾

“對於先前環繞在數學無窮四周的困惑之解決，是我們這個時代最足以自豪的偉大成就。”――哲學家羅素

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點有多大 by 蔡聰明

這是一個平凡的問題，但是極具深度且源遠流長，它從古希臘開始就涉及了「有窮」與「無窮」的論爭。本文我們嘗試由「點有多大？」的觀點切入，循著「無窮」的腳步，走一趟數學之旅，作一個簡要的歷史回顧。

空間或幾何圖形，都是由「點」所組成的。因此，欲透過點的性質來掌握圖形的性質，乃是順理成章的一件事。

我們很自然要問：點有沒有長度？

在約兩千五百年的漫長歲月中，數學家提出了各種答案，從畢氏學派的「點有一定的大小，長度不為 0」，到歐幾里得的「點只占有位置，而沒有長度」，再到牛頓與萊布尼慈的「無窮小」解釋，這些答案跟歐氏幾何、解析幾何、微積分、集合論以及測度論的發展，具有密切的關聯。

1. 離散的或連續的？
2. 點與線段的三個基本問題
3. 畢氏學派的萬有皆整數與調和
4. 歐氏的幾何學研究綱領
5. 解析幾何
6. 微積分的誕生
7. 微積分的基礎
8. 集合論
9. 測度論
10. 數學是無窮之學

1. 離散的或連續的？

大自然的結構與組成要素，其生成、變化與邉又�禎��自古以來就蕷J軐W家與科學家熱烈討論的主題。由此產生了下面三個萬古常新的問題：

(i) 物質的結構問題 (the structure of matter);
(ii) 物體的變化與邉訂栴} (the problem of change and motion);
(iii) 科學知識的結構與成長問題 (the problem of structure and growth of
scientific knowledge)。

對於物質的結構問題，讓我們作個想像的實驗 (thought experiment)：如果將一塊泥土不斷地分割下去，最後會得到什麼呢？

這可以分成以下的離散 (discrete) 與連續 (continuous) 兩派來解釋。

離散派：

這一派又叫做原子論派 (atomism)，主張：分割物質，在很大的「有窮步驟」之內就會抵達「不可分割」的境地，叫做「原子」(atom)；萬物都是原子組成的。原子不生不滅，其不同的排列組合，導致了大自然的生成與變化之道。

離散派或有窮派最主要的代表人物，是畢達哥拉斯（Pythagoras，約西元前585～500）、留基波斯（Leucippus，約西元前460～390）與德謨克列特斯（Democritus，約西元前460～370）等人。


連續派：

這一派主張：物質是連續的，可以作「無窮步驟」的分割，沒完沒了。但是，分割到最後會剩下什麼，卻陷入困局。如果回答說是「空無」(nothing)，那麼物質是由空無組成的，這種「無中生有」(something out of nothing) 是不可思議之事。如果回答說是「無窮小」(infinitesimal)，那麼什麼是無窮小？這更令人困惑。

我們舉幾個連續派的例子。在春秋戰國末期，公孫龍（約西元前325～250）說：

一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

古希臘哲學家安那薩哥拉斯（Anaxagoras，西元前500～428）說：

在小當中沒有最小，因為小中恆有更小。 (In the small there is no smallest, there is always a smaller.)

這跟老子所說的「至大無外，至小無內」有異曲同工之妙。再如，英國諷刺小說家斯威夫特（Swift，1667～1745，即《Gulliver 遊記》的作者）也說：

在一隻跳蚤身上有一隻更小的跳蚤在吸吮，在更小的跳蚤身上又有一隻更小更小的跳蚤在吸吮；如此繼續下去，永世不竭。

上述例子，都是連續派或無窮派的最佳寫照。

2. 點與線段的三個基本問題

「點」(point)是幾何圖形的最基本要素，相當於幾何學的「原子」。當我們剖析幾何圖形的組成時，得到體、面、線，最後是點。反過來說，動點成線，動線成面，動面成體。前者是「分析」(Analysis)，後者是「綜合」(Synthesis)。

既然線段是由點組成的，於是自然產生下面三個基本問題：

問題1： 點有多大？
問題2： 如何由點的長度，累積成線段的長度？
問題3： 線段含有多少點？

這三個問題都很有深度，追究起來又會遇到兩個相關的問題：

線段是離散的或連續的？

線段是有窮可分的 (finitely divisible) 或無窮可分的 (infinitely divisible)？

從而，又分成離散派與連續派。離散派主張：點雖然很小很小，但有一定的長度，像小珠子一樣，線段是由這些小珠點連起來的。連續派則主張：點的長度為 0，線段是連續的、無窮可分的。這就涉及深奧的無窮與連續統之謎 (the enigma of infinity and continuum)，經常伴隨著詭論之出現，例如著名的季諾詭論 (Zeno's paradoxes)。

長久以來，這兩派思想的論爭，對於促進數學、物理學、哲學的進展，一直扮演著主導的角色。連續派富於想像，離散派注重實際。數學史家倍爾 (E.T. Bell, 1883～1960) 說得好：

整個數學史，可以看作是離散與連續這兩個概念的論爭史。這個論爭可能只是早期希臘哲學上著名的「一與多」（亦即「變」與「不變」）論爭的餘波蕩漾。然而，把它們看作是「你存我亡或我存你亡」式的論爭並不恰當，至少在數學裡，離散與連續經常是相輔相成地促成了進步。

3. 畢氏學派的萬有皆整數與調和

古埃及與巴比倫累積了數千年的直觀經驗幾何知識，傳到了古希臘人的手上，泰利斯（Thales，約西元前625～546）首先嘗試將它們組織成邏輯系統。接著是畢氏學派 (Pythagorean school)，他們為了建立幾何學的基礎，採用「離散的世界觀」，認為線段是由離散的 (discrete)、且具有一定大小的點，串連起來的。據此，他們解答了上述三個問題：

線段只能作有窮步驟的分割，就到達了「點」。點雖然很小很小，但是其長度 d>0，線段的長度等於其組成點的長度之相加，這只是有窮項之求和（微觀與宏觀的連繫）。線段只含有窮多點。

進一步，他們提出：任何兩線段皆可共度 (commensurable)，亦即對於任意兩線段 a 與 b，恆存在一個共度單位 u>0，使得 a=mu, b=nu, 其中 m、n 皆為自然數。在畢氏學派「離散的世界觀」之下，這是一個自然的結論，因為至少一個點的長度就是一個共度單位。

從而，線段的度量只會出現「整數或整數比」（即有理數）。另外，畢氏也發現了畢氏音律，悅耳調和的音，其弦長成簡單整數比。畢氏學派的世界是「整數與整數比」的世界，這是他們主張「萬有皆整數與調和」(All is whole numbers and harmony)之所本。

在任何兩線段皆可共度的條件下，畢氏學派證明了長方形的面積公式與相似三角形基本定理，進一步推導出畢氏定理，他們相當成功地將幾何學建立在「整數與整數比」的算術基礎上面，我們不妨稱之為：幾何學的算術化與原子論化的研究綱領 (research program)。

後來由於發現了正方形的邊與對角線，以及正五邊形的邊與對角線，都是不可共度的 (incommensurable)。這等價於sqrt{2} 與 (1+sqrt{5})/2 不能表為整數比，即它們都是無理數（或非比數），我們可以利用歸謬法加以證明。這導致了畢氏學派的失敗，史稱第一次的數學危機。

4. 歐氏的幾何學研究綱領

歐氏 (Euclid) 重建幾何學，是在紀元前三百年完成的。他吸取畢氏學派失敗的經驗，改採「連續的世界觀」，主張直線與平面都是「連續的」，可作無窮步驟的分割，最後得到的是「點」。《歐氏原本》開宗明義就提出 23 個定義（Hilbert 在1900年提出著名的23個問題），其中前三個就是：

1. 點是沒有部分的 (A point is that which has no part.)。
2. 線段只有長度而沒有寬度 (A line is breadthless length.)。
3. 線段是由點組成的 (The extremities of a line are points.)。

這些都是修正畢氏學派的失敗而得到的。第一個定義是說，點只占有位置而沒有長度。點是「至小」，故「無內」。三個定義合起來，顯示線段含有無窮多個點。

在論及線段的長度時，歐氏根本就不用「由沒有長度的點，累積成有長度的線段」之論點，而直接訴諸直觀常識，避開了這種「無中生有」的困局。

然而，這些都不是歐氏的重心。他的「主調」是，重新分析既有的幾何知識（古希臘的所謂「Geometric analysis」），另闢蹊徑，改用幾何本身來建立幾何，並且採用公理化的手法 (axiomatic method)，最後歸結出五條幾何公理，這是最精彩的創造發現過程 (the context of discovery)。接著是綜合，由公理推導出所有幾何定理，這是邏輯驗證過程 (the context of justification)。歐式幾何的創立過程，是古希臘最著名的分析與綜合之示範；從泰利斯經畢氏學派到歐氏，約經歷了三百年，這也是古希臘文明所產生的精品。

歐氏幾何的五條公理是：

1. 過兩點能作且只能作一直線。（直線公理）
2. 線段（有限直線）可以無限地延長。
3. 以任一點為圓心，任意長為半徑，可作一圓（圓公理）。
4. 凡是直角都相等（角公理）。
5. 在一平面內，過直線外一點，可作且只可作一直線跟已知直線平行（平行公理）。

再加上五個一般公理：

6. 跟同一個量相等的兩個量相等，即若 a=c 且 b=c，則 a=b。
7. 等量加等量，其和相等，即若 a=b 且 c=d，則 a+c = b+d。
8. 等量減等量，其差相等，即若 a=b 且 c=d，則 a-c = b-d。
9. 完全疊合的兩個圖形相等（疊合公理）。
10. 全量大於分量，即 a+b > a。

這些公理歐式都看作是直觀自明的真理 (obvious and self-evident truths), 他由此邏輯地推導出當時已知的所有幾何定理。「真值」(truth value) 由公理的源頭輸入，那麼真值就沿著邏輯網路流佈於整個歐式幾何的系統。在歐式幾何中，最重要的幾個定理是：畢氏定理、三角形三內角和定理、三角形的全等定理 (s.a.s., a.s.a., s.s.s.)、相似三角形基本定理、正多面體恰好有五種，等等。

歐式幾何的演繹系統，揭示了什麼是真正的證明標準，並且這種「立公理再演繹」的模式，變成往後一切數學與科學理論模仿的典範。一門學問發展到成熟的階段，總是以演繹系統的形式來展現。因此歐式幾何的精神可以說是「流傳千古，向榮長青」。愛因斯坦說的好：

如果歐氏無法點燃你年輕的熱情，那麼你生來就不是一位科學的思想家。 (If Euclid failed to kindle your youthful enthusiasm,then you were not born to be a scientific thinker.)

從科學的哲學或數學教育的眼光來看，我們更感興趣的問題是：歐氏如何做出歐氏幾何？尤其他的分析發現過程是如何做的？

筆者認為，在中學的養成教育過程中，如果忽略了歐式幾何，那實在是棄珍珠而撿沙石。無論數學課程如何修訂，歐氏幾何都是不能縮水的精華。

5. 解析幾何

當托勒密 (Ptolemy) 國王問學於歐氏：「學幾何有沒有捷徑？」歐氏回答說：

在幾何學之中，並沒有皇家大道。 (There is no royal road in geometry.)
兩千年來幾何都沒有什麼進展，一直等到十七世紀笛卡兒（Descartes, 1596～1650）與費瑪（Fermat, 1601～1665）獨立地發明解析幾何，才被譽為找到了「幾何的皇家大道」。

歐氏之後，大家都接受：點的長度為 0，直線由點所組成的並且是連續的。雖然我們無法由點的長度累積出線段的長度，但是在常識上每個人對線段都有直觀的長度概念，因此並不煩惱。

解析幾何利用坐標系將「連續的直線」與「直觀的實數系」等同起來，進一步將平面上的點跟數對 (x,y) 對應起來，使得方程式 f(x,y)=0 與幾何圖形可以互相轉化，溝通了代數學與幾何學。從此，代數的工於計算與幾何的富於直觀，達到「魚與熊掌」可以兼得的境界，數與形又合一。

解析幾何一方面解放了歐氏幾何，另一方面又為微積分的發明舖路。另一個重要意義是，人們辦到了古希臘哲學家辦不到的事情，給人增添無比的信心。笛卡兒說：

當我領悟到可以將一條直線、一條曲線表成方程式時，讓我感受到美如《伊里亞特》（Iliad，為荷馬所作之史詩）。當我看見這個方程式在我的手中解出來時，綻放出無窮的真理，光耀奪目、毫無可疑、永恆美麗，我相信我擁有了一把可以進入每一個神秘之門的鑰匙。

這種信心的普遍根植，在十七世紀後半葉完成了數學與物理學的革命。

6. 微積分的誕生

根據歐式幾何的定義：點只佔有位置，沒有大小；線段只有長度，沒有寬度；面只有長度與寬度，但沒有厚度。因此，歐氏的點、線、面都不生存在這個現實世界，而生存在柏拉圖的「理念與形的世界」(the Plato's world of ideas and xxxxs)。任何在紙面上做出的幾何圖形都不正確，所以有人說：「幾何學就是利用不正確的圖形，做正確推理的藝術。」

線段由無窮多個點組成，而點的長度為 0，無窮多個 0 加起來會等於線段的長嗎？這個難題使得局部的點與大域的線段之間，存有不可踰越的鴻溝 (gap) 而無法銜接，這就是「無窮」所產生的鴻溝。

同理，求面積與體積的問題也遇到了類似的困難。長久以來，數學家想出各種替代方案，例如窮盡法、不可分割法、無窮小法、動態窮盡法等等，但這些都只是個案解決問題，並不是普遍的系統方法。

到了牛頓（Newton, 1642～1727）與萊布尼慈（Leibniz, 1646～1716）的手上，雖然點沒有長度，但是他們在直線坐標系上引入「無窮小」dx，作為「點的長度」之解釋與積分的對象。由此逐步發展出微分法，解決求面積的千古難題，創立了微積分。

下面我們就來重建這個偉大的發現過程。如圖一所示，考慮線段 [a,b]，將它分割成 n 段（不必等分），分割點為

圖一

令第 k 段的長度為 ，再將 n 段全部加起來，就得到

現在讓分割越來越細，n 越來越大，不過(2)式仍然成立。由於線段是連續的，可以作無窮步驟的分割；今想像已經分割到使每一小段都變成「無窮小」，在 x 點處的無窮小記為 dx，於是(2)式連續化變成積分公式：

積分記號 表示無窮多個無窮小，從 a 到 b 連續地求和。

亞里斯多德說：「線段不是由點組成的」，其實他的意思是說：「線段的長度，不是由點的長度累積而成的。」(3)式告訴我們，線段的長度是由局部的無窮小 dx 累積（即積分）而得到的，這初步解決了問題 2。我們稱(3)式為完美的積分規則 (the perfect integral rule)。

其次，如圖二所示，考慮一個函數 y=F(x)，定義在 [a,b] 上。對於(1)式之分割，相應地將函數圖形台階化，第 k 階的升（降）高度為

圖二

於是將 n 階的升降高度全部加起來，就是從 P 點沿著台階登到 Q 點的純升高 F(b)-F(a)，亦即

作連續化得到

其中積分 表示無窮小的小精靈沿著 y=F(x) 的圖形，每一階升降的高度為

然後對 x 從 a 到 b 連續地求和。

另一方面，考慮一個連續函數 y=f(x)，其圖形在 [a,b] 上所圍成領域之面積。這可以看成是無窮多個無窮小的長方形 f(x)dx，對於 x 從 a 到 b 連續地求和，即積分 ，參見圖三。

圖三

問題4： 如何求算積分 ？

由(6)式即知，如果 f(x)dx 可以表成 dF(x) 之形，或

那麼答案就是 F(b)-F(a)。

定理一（微積分學根本定理）：

設 f 為定義在 [a,b] 上的一個連續函數。如果可以找到另一個函數 F，使得(8)式成立，則

此式叫做 Newton-Leibniz 公式。

問： 什麼是算術根本定理、代數學根本定理？

牛頓與萊布尼慈獨立地看出這個定理，所以後世史家就把微積分的發明歸功於他們兩個人。

什麼是無窮小 dx？顯然它不能等於 0，否則又會落入「無中生有」的陷阱。但是它也不能為一個有限正數，因為這會產生由無窮多個正數累積成無窮長的線段，跟常識矛盾。無窮小是經過無窮步驟的分割而得到的，故它「要多小就有多小」，是活生生的。不過，這又跟「不等於 0」矛盾，因為一個實數若其絕對值可以「要多小就有多小」，那麼它必等於 0。因此，無窮小具有「不等於 0，並且要多小就有多小」之矛盾性格，這逼得無窮小不是一個實數，無窮小概念之詭譎可見一斑。

點的長度為 0，無窮小 dx 不等於 0。無窮小才是積分的對象，而不是點！利用無窮小可以幫忙我們看出微積分！

由 F(x) 求出 叫做微分；給 f(x)，求 F(x) 使得(8)式成立，叫做反微分。定理一告訴我們，問題4之積分解決於反微分的求算；反微分的演算又建基於微分的演算。因此，我們說微分法解決了求積分之難題。此外， 可以解釋為切線斜率、速度、密度、放大率、變化率等等。

例子: 設 ，則

（因 dx 要多小就有多小，故可略掉）
我們也可以採用極限論證法：

兩種算法殊途同歸。於是由定理一可知

7. 微積分的基礎

牛頓與萊布尼慈，在1680年左右分別發現微積分根本定理，但是並沒有給出證明；到了1820年代才由柯西（Cauchy, 1789～1857）首次給出不完全的證明。

在證明的過程中，首先必須澄清極限概念（無窮小的概念更困難）以及連續函數的基本性質，而這些又都建立在實數系 R 上面。因此，我們要問：什麼是實數系？

笛卡兒與費瑪利用座標系的辦法，直觀地將「實數系 R」與「連續的直線」，等同起來，因而創立解析幾何。但是，這樣對於實數系我們還是沒有真正的了解。

比較建構性的辦法是，由 1 出發，不斷加 1，就得到自然數系：

N = {1,2,3,...}

再不斷減 1，就得到整數系：

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

接著考慮整數的相除（除數不為 0），得到有理數系：

讓我們回頭考察畢氏學派「萬有皆整數」的觀點，畢氏學派以為有理數系（整數及其比值），就足以應付一切幾何的度量問題。換言之，將 Q 的元素表現為直線坐標系已經填滿整條直線而沒有漏洞，叫做有理數線。後來畢氏學派發現了無理點（無理數），例如 與 ，才知道有理數線還有許多缺口。

將所有的無理數加進有理數中，就是實數系 R。同理，在有理數線上補入所有的無理點，就得到實數線 (the real line)。實數線還有缺口嗎？

戴德金（R. Dedekind, 1831～1916）與康特（G. Cantor, 1845～1918）如笛卡兒與費瑪一樣，他們認為：實數線已是「天衣無縫」，沒有缺口。這是實數系完備性（或叫連續性）最直觀生動的說法。換個方式來說：將實數線切割成兩段，必切到一個實數點。明確地說，若 A 與 B 為實數系的兩個非空子集合，滿足

則稱 (A,B) 為 R 的一個戴德金切斷（Dedekind Cut），A 叫做下段，B 叫做上段。實數系的完備性 (completeness) 是說：

如果 (A,B) 為實數系 R 的一個戴德金切斷，那麼上段 B 含有一個最小元素或下段 A 含有一個最大元素。兩者必擇其一

事實上，完備性有許多等價的 (equivalent) 說法，最常見而好用的說法如下：

(i) 區間套的說法：若

並且

則

並且

(ii) 遞增且有上界的數列必有極限，即若

並且

則極限值 存在（當然為實數）。

(iii) 設 。若 A 有上界，則 A 必有唯一的最小上界 ，即若 ，則存在唯一的 ，使得對 A 的任何上界 n，恆有 。

利用實數系的完備性以及極限的 與 定式，就可以證出連續函數的基本性質。例如中間值定理 (Intermediate Value Theorem)，在閉區間 [a,b] 上的連續函數是有界的、均勻連續的，並且取得最大值與最小值。由此，進一步可證出微積分根本定理。從而整個微積分堅實地奠定在實數系上面。

再問： 實數系的完備性為什麼成立呢？

這就必須實際建構實數系了。此地我們只簡介戴德金的建構法：考慮有理數系 Q 的切斷(cut)，然後將 Q 的每一個戴德金切斷等同為一個實數，一次就系統地完成 Q 的「煉石補天」工作；定義出實數系 R，再定義四則咚閂c大小關係，最後可證得 R 是一個完備的有序體 (a complete ordered field)。至此，微積分的尋根究底工作告一段落，這是1870年左右完成的。

總之，點與實數，連續的直線與完備的實數系皆合一。點的長度為 0，線段含有無窮多點，是連續的，這不只是含糊的直觀而已，而是可以有戴德金完備性的說法；進一步，還可以從 Q 建構出 R 並且證得 R 的完備性。

另一方面，微積分也可以建立在「無窮小論證法」上面。不過，無窮小的理論基礎一直要等到1960年代才由邏輯家羅賓森（A. Robinson, 1918～1974）完成，今日叫做非標準分析學（Nonstandard Analysis）。

8. 集合論

現在唯一不明的是：線段含有無窮多點，這個「無窮」是什麼？可否進一步說明？「連續統」(continuum) 是什麼？

這些問題正是康特所要追尋的，由此導致集合論 (set theory) 的誕生。微積分與集合論分別是人類第一波與第二波的馴服無窮。

亞里斯多德將無窮分成實在的無窮 (actual infinity) 與潛在的無窮 (potential infinity)，然後儘可能地避開前者。歐氏亦然，他的第五公理（平行公理）其實是敘述成：

兩直線被一直線所截，若在此截線的一側它跟兩直線所成的內角和小於一平角，則兩直線在此側相交。

這樣就避開了平行公理所需用到的:兩直線無限地延伸，都不相交的說法。伽利略研究自由落體，得到自由落體定律 ，這是一個平方函數。基於好奇心，他將自然數與其平方數作對應：

意外地發現自然數全體與平方數全體的元素個數一樣多，但是後者只是前者的一部分，這違背了歐氏的「全體大於部分」之公理。對此伽利略疑惑不解，稱之為伽利略詭論（Galileo Paradox, 1638）。因此歐氏公理只適用於有涯的世界，而不適用於無涯的世界。

微積分初步馴服無窮之後，人們對於「實在的無窮」仍然覺得恐懼。高斯（C.F. Gauss, 1777～1855）說：

涉及無窮大的量，如果指的是「實在的無窮」，這種用法在數學中是不允許的。
康特不但接受伽利略的「詭論」，而且還拿它當作「無窮集」的定義：

一個集合若存在有部分子集，其元素個數跟全體的一樣多，就叫做無窮集。
兩個集合的元素個數一樣多，是什麼意思？康特利用對射 (bijective mapping or one to one correspondence) 的概念，來剖析無窮。如果兩個集合之間存在有一個對射，則稱此兩集合的元素個數一樣多，或具有相同的基數 (cardinal number)，進一步，他將集合分成可列集 (countable set) 與不可列 (uncountable set)：一個集合如果是有窮集或可跟自然數集形成一個對射，則稱此集是可列的，否則稱為是不可列的。

康特證明了：有理數集與代數數集 (algebraic numbers) 都是可列的，但是區間 [a.b] 及實數系都是不可列的。換言之，實數系 R 的無窮比自然數的無窮還要高級，所以超越數 (transcendental numbers) 存在。甚至他還證明：區間 [0,1] 與正方形 [0,1] x [0,1] 的點數一樣多！大大地違背直觀常識！康特在1877年寫信給好朋友戴德金說：「除非我能從你那裡得知我的證明的對錯，否則我是放心不下的。在未得你的證實之前，我只能說：我看到了它，但是我幾乎不敢相信！(I see it, but I don't believe it!)」

如果令 N 的基數為 （唸成 Aleph zero， 是希伯萊第一個字母），R 的基數 ，康特猜測說：不存在一個集合，其基數介於 與 之間。這叫做康特的連續統假說 (the continuum hypothesis)。如何證明或否證？柯恩 (P.J. Cohen) 在1963年提出的解答竟然出人意料之外：

它跟集合論公理是獨立的，是額外的一個公理，我們可以接受也可以拒絕。換言之，它既對又錯，端視我們的取捨，跟歐氏幾何的平行公理的地位完全相當。
康特對於問題 3 的回答是：線段含有無窮多點，而且是不可列的無窮。康特因追究「無窮」而創立集合論。

集合論的誕生被形容為是「數學的法國大革命」，其術語已普及到所有的數學分支。現代數學的結構主義觀點認為，數學就是研究集合加上結構所形成的演繹系統。

希爾伯特（D. Hilbert, 1862～1943）稱讚集合論說：

沒有人能夠把我們趕出康特為我們所建立的樂園。

羅素（B. Russell, 1872～1970）也說：

對於先前環繞在數學無窮四周的困惑之解決，是我們這個時代最足以自豪的偉大成就。

9. 測度論

十八世紀的弦振動問題與十九世紀初的熱傳導現象之研究，發展出富立葉分析 (Fourier Analysis)：「任何周期函數，都可以展開成三角級數。」為了理論的研究，需要嚴格地定義積分，因而產生黎曼積分 (Riemann integral, 1854)。到了十九世紀末，逐漸發現黎曼積分不夠用，而且有許多缺陷。於是在本世紀初，勒貝格（H. Lebesgue, 1875～1941）提出「測度積分論」以補足黎曼積分的不足。

先前康特已經證明有理數集是可列的，實數集是不可列的連續統。大家都公認點的長度為 0，如果要按原子論的精神，用點的長度累積出更複雜的集合的長度（或叫測度），從而對廣泛一類子集皆指定有測度，那麼問題就變得相當詭譎而微妙 (delicate and subtle)：

(i) 如果要求測度具有「不可列加性」(uncountably additive)，那麼每一個子集的測度皆為 0，違背常理，無法保住常識。
(ii) 如果要求測度只具「有窮可加性」(finitely additive)，那麼我們只能對有窮子集談測度，且其測度為 0，這太貧乏了。
(iii) 如果要求測度具有「可列加性」(countably additive) 之折衷條件，那麼也只能做出可列集的測度（皆為 0），仍然太貧乏。

因此，只用點當「原子」，再按「加性」延拓出去，顯然是不夠的。勒貝格的解決之道是：把「原子」增多，除了點之外，還加上區間。這兩者的測度（長度）都是直觀顯明的：點的長度為 0，區間 [a,b]、(a,b]、[a,b)、(a,b) 的長度都是 b-a。以此當出發點，透過可列遮蓋 (countable cover) 的逼近手法，作出更複雜且夠豐富的子集之測度，合起來得到一個測度空間。這是一個相當完備的體系，足以承載豐富的分析學；特別地，也適用於機率論。

10. 數學是無窮之學

「數學是無窮之學」，這是偉大數學家希爾伯特的名言。從「點有多大」的發展史來看，更能體會這句話的深義。

英國詩人布雷克（W. Blake, 1757～1827）說得很傳神：

從一粒沙中看出一個世界，從一朵野花中看出一個天堂，握無窮於掌心，永恆於瞬息。

References:

1. Grünbaum, A.,《Modern Science and Zeno's Paradoxes》, Wesleyan Univ. Press, 1967.

2. Bell, E.T.,《The Development of Mathematics》, McGraw-Hill, 1945.

3. Heath, T.,《A History of Greek Mathematics》, vol. 1, Dover, 1981.

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5. Boyer, C.B.,《The History of the Calculus and its Conceptual Development》, Dover, 1959.

6. Edwards, C.H.,《The Historical Development of the Calculus》, Springer-Verlag, 1979.

7. Dauben, J.W.,《Georg Cantor, His Mathematics and Philosphy of the Infinite》, Princeton Univ. Press, 1979.

8. Rucker, R.,《Infinity and the Mind》, Birkhauser, 1982.

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11. Maor, E.,《To Infinity and Beyond, A Cultural History of the Infinity》, Birkhauser, 1986.

12. Moore, A.W.,《The Infinite》, Routledge, 1990.

URL: http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_08_1/index.html