765、人生就像一場旅行;廣相論15 |
送交者: 和顏清心 2019年05月14日10:48:05 於 [教育學術] 發送悄悄話 |
“人生就像一場旅行,不必在乎目的地, 重要的是沿途的風景及看風景時的愉快心情。 《廣相論之15·內蘊性幾何 》
前面我們說到,對‘空間曲線’(二維)的研究, 是用‘微分幾何’的方法, ‘微分幾何’比‘歐氏幾何公理’要精準得多。 同時,‘微分幾何’還可以用在 對‘空間曲面’(三維)的研究上。 一個三角形,沉浸在一個鞍形面上,圖上還有兩條發散的超平行線。 馬鞍面上的幾何,就是前面介紹的羅巴切夫斯基幾何,又被稱為‘雙曲幾何’。 ‘空間曲面’的形狀,可以分為兩大類: a.不可展曲面; b. 可展曲面。 初看 圖2 a 和 圖2 b 所畫的曲面, 也許看不出這兩類圖有什麼區別—— 認為不管可展還是不可展, 看起來都是“彎曲”“不平的”。 但是,如果仔細觀察,就會發現, ‘可展曲面’的“彎曲” 與‘不可展曲面‘的“彎曲”有着本質的區別。 簡單地說, 可展曲面在本質上是“平的”, 它們可以被展開成一個平面。 比如,將圖2 b所示的錐面 用剪刀剪一條線直到頂點, 就可以沒有任何皺褶地將它平攤到桌子上。 柱面也可以沿着與中心線平行的 任何直線剪開,成為一個平面。 但是,圖2a所列舉的‘不可展曲面’, 就不能展開成平面了。 那是真正的、本質上的“不平”。 一頂做成了近似半個球面的帽子, 你無論怎樣剪裁它, 都無法將其沒有皺褶地攤成一個平面。 另一方面,你用一張平平的紙, 很容易捲成一個圓筒(柱面)
但你無法做出一個球面來。 你頂多只能將這張紙剪成許多小紙片, 粘成一個近似的球面! 談到這兒, 大概已經明白“可展”和“不可展”的區別了。 儘管兩類曲面在嵌入3維空間後, 看起來都是彎曲的,但是, ‘可展曲面’的內在本質是“平的”; 不可展曲面的內在本質是“不平”。 區分這兩類曲面的“內在本質”, 叫“內蘊性”研究, 研究這種性質的幾何,叫‘內蘊幾何’。 黎曼幾何就是‘內蘊性幾何’。 曲面的內蘊性最早被“數學王子”高斯所注意, 後為黎曼所發展,並推廣到‘大於3’的n維流形* 【*流形(Manifolds) 是局部具有‘歐幾里得性質’的空間】 黎曼幾何就是一種‘內蘊幾何’。 換言之,內蘊性指的是 曲面(或曲線)不依賴於它在三維空間中嵌入的方式。 也就是說, 內蘊性是曲面某些內在的、本質的幾何屬性。 高斯用曲率,來表徵曲面的這種特性。 |