天才中的天才:高斯

塞蒙斯《微分方程》历史注记

高斯（Carl Fricdrich Gauss,1777—1855）是最伟大的数学家，也是有历史记载的最有禀赋的天才。这位屹立在19世纪初的巨人是近代数学和以往一切数学的分水岭。他在形象思维上的洞察力和创见，他工作成就的广度和深度，他一再显示出来的几乎超人的智力和毅力，所有这些品质能够结合在单独一个人身上，这对我们后代也如同对他当时的人一样，都是感到难以理解的。

高斯出生在德国北部城市布伦瑞克。他很小就表现出对于数有非凡才能，因此在晚年他打趣说：他在说话以前先会算数。据说哥德六岁就编导木偶戏的剧本和演出，莫扎特五岁就做出第一首儿时小步舞曲，而高斯三岁就纠正了他父亲工资表上的一处计算错误。他父亲是园丁兼泥水匠，既无钱也无意培养造就他这个天才孩子。幸亏高斯在心算方面的杰出才能引起了当地一些人物的注意，并终于使布伦瑞克公爵也知道了他。公爵很欣赏这个孩子，亲自负责他以后的教育，先把他送到布伦瑞克的卡罗林学院（1792—1795)，其后让他去格廷根大学(1795—1798)。

高斯在卡罗林学院里掌握了古典语文并研读了牛顿、欧拉和拉格朗日的著作。早在这一时期（也许是他十四、五岁之际）他就发现了质数定理，而那个定理终于在1896年由许多数学家经过很大努力后给予证明（参看本书中关于契比雪夫和黎曼的注记）。他也发明了使观测数据的固有误差为极小的最小二乘法，并提出了概率论中的高斯（或正态）分布律。

在大学里，高斯对语言学发生兴趣而讨厌数学课，他的日后攻读方向曾一度摇摆不定。然而他在十八岁时在几何上做出了奇妙的发现，使他决心从事数学，并终生给他以极大的乐趣。古代希腊人知道用尺规作3,4,5及15边的正多边形，以及通过平分角法从这些正多边形得出的所有其他正多边形。但只能作这些，问题到这里搁了两千年，直到高斯才把问题完全解决。他证明正n边形尺规可作，当且仅当。等于2的一个乘幂与形为pk=22k+1的一些质数相乘的乘积，特别是当k=0,1,2,3时，相应的pk=3,5,17,257是质数，故有这种边数的正多边形是尺规可作的。

在这些年月里，高斯才思泉涌几乎日不暇给。他开始作简短科学日记，来记录他所发现的事，因为他所发现的结果太多，当时都来不及详述。第一项记录的日子是1796年3月30日，内容是说正17边形可作，但甚至在比这还早的日子里，他已在深入钻研数论里前人所未曾探索过的几个领域。1795年他发现了二次互反律，并在其后写道：“这个定理使我伤了整整一年的脑筋并且花了我极大的精力，最后终于找到证明。”

当时高斯还不知道这定理已由欧拉未加证明地提出了不完善的叙述，并由勒让特提出了正确的叙述和不正确的证明。这是他的名著《算术论丛》(Dioquisitiones Arithmetical）的核心部分，该书虽于1798年写完，但到1801年才发表。除了提到早期数学家的一些零碎结果之外，这部巨作的内容完全是创新的。一般认为这部著作标志着近世数论的真正开始，正如牛顿的《原理》对于物理和天文所起的作用一样。在开头作为引言的几页里，为研究可除性问题，高斯搞出了同余的方法，并对算术基本定理（又叫唯一因子分解定理）给出了第一个证明。这个定理说的是：每个整数n﹥1可以唯一地表示为质数因子的乘积。该书的核心部分是主要讨论二次同余、齐式和余式的。在最后一节里他给出了分圆方程的完整理论，并述及其对正多边形是否可作问题的应用。整部著作是纯数学上的一席盛宴，他的后继者只能慢慢地勉为其难地加以消化。

高斯在他的《论丛》里还创立了现代学者对待数学的严格方法和态度。他感到前人那种经不起推敲的叙述和证明是完全不能容忍的，因而决心要使他自己的著作在这方面无懈可击。正如他在给友人信中所说的，“我所说的证明用意与律师的不同，律师认为两个一半的证明等于整个证明，而我是按数学家的意义来了解的，即认为12证明=0，而要求有使任何疑问成为不可能的证明”。（证明出一半等于没证明。）

《论丛》就是按照这个精神以高斯那种老练的文体写成的，它简单扼要，严密，不讲来龙去脉，有些地方文字几经琢磨，以致使人读了几乎不能理解。他在另一封信里说道：“你知道我写得慢。这主要是因为我总想用尽量少的字句来表达尽量多的思想，否则决不干休，而写得简短比长篇大论地写更花费时间。”

他的这种习惯所产生的效果之一是，他著作中所隐藏的内容几乎同他所发表的一样多，因为他花了不少力气把引导他得出发现的思路痕迹统统删除净尽。阿倍耳曾说：“他像只狐狸，用尾巴抹平了自己在沙地上走过的脚印”。对于这些批评，高斯回答说凡有自尊心的建筑师在楼房完工后总不会把脚手架留在那儿的。不过他的著作难于阅读也使他的思想非常难于传播。

高斯的博士论文（1799)也是数学史上的另一块里程碑。经过早期数学家达朗贝尔、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等人毫无结果的尝试之后，代数基本定理终于在那里第一次得到了令人满意的证明。这定理论述实系数或复系数的任一多项式方程存在实根或复根。高斯的成功开创了进行存在性证明的新时代，从此以后，这种证明在纯数学里有了重要的作用。而且在这第一个证明里（他总共给出四个证明），看来高斯是第一个满有把握地运用复数和复平面几何的数学家。

高斯在他一生的第二个时期转向繁重的应用数学工作，因而除了少数例外，他那丰富的思想宝藏只潜伏在他的日记和笔记中显出其生命力。

在十八世纪九十年代，许多天文学者想在火星轨道和木星轨道之间找一个新行星，因为根据波德（Bode)定律（各行星到太阳的相对距离若以日地距离为10，形成一个数列： 3.9,7.2,10.0,15.2,26.5,52，95.4,192.307， 而这个数列可从下面简单数列近似得出： 0,1,2,4,8,16,32,64,128 各乘以3得：0,3,6,12,24,48,96,192,384 再各项加4得：4，7，10，16，28，52，100,196,388（译者注））（1772)，那里应该还有一个行星。1801年在那个天域发现了后日叫小行星中的第一颗并且是最大的一颗谷神星（Ceres)。具有讽刺意义的是，这一发现与哲学家黑格尔发表一篇惊人文章的日子不谋而合。他在那篇文章里讥笑天文家学忽视哲学，说是哲学能够给他们证明不可能再存在新的行星，免得他们浪费时间和精力。黑格尔继续用这样的腔调发表他的哲学文章，以后更连篇累牍地写出神乎其神的哲学著作。（哲学碍事。）

令人遗憾的是这微渺的新行星即使在条件最佳时也很难以看到，不久又消失在太阳附近的亮的天域里。当时需要根据少量的观测数据来算出足够精确的轨道，以便重新确定谷神星在远离太阳时的位置。欧洲天文学家搞了好几个月不成。最后高斯也被这一问题所吸引，他就以他的最小二乘法和他那无比的计算技能确定了轨道，告诉天文学家的望远镜往那里去找，并且居然找到了。在别人努力统统失败了之后，他成功地重又发现了谷神星。

这一成就带给他声誉，使公爵增加他的年金，并在1807任天文学教授和格廷根新天文台的第一任台长。他以那惯常的彻底精神执行他的任务，但结果是他讨厌当了教授之后所带来的那些行政琐事、会议和官僚主义的繁文缛节。他对教书也毫无兴趣，认为这是浪费他的时间，而且对于有才能的和没有才能的学生（出于不同的原因）基本上无用。然而当他不得不教书的时候，他显然教得很出色。他的一个学生——杰出的代数学家戴狄金（R. Dedekind)，在50年之后还感到高斯的讲课是他“一生所听过的最好、最难忘的”。

高斯有许多机会离开格廷根，但他谢绝所有聘请，在那里渡过了他的余生——生活平静简朴，很少外游，以巨大的精力从事数学及其应用方面各式各样问题的研究。除了科学和瞻家之外（他结婚两次，有六个子女，其中二人移居美国）,他的主要兴趣是历史和世界文学，国际政治以及财政事务。他拥有约六千卷各种文字的藏书，包括希腊、拉丁、英、法、俄、丹、德许多文字的书籍。他在处理个人财务问题的精明能干从下面事实可知一二：他虽然几乎是白手起家的，但他死后所遗财产超过他后半生每年收入的百倍以上。

十九世纪头二十年间，高斯不断写出一些天文著作，其中最重要的是《天体运动理论》(Theoria Motus Corporum Coelestium,1809)。在其后一百多年间此书成为行星天文学上的一本圣经。书中处理摄动的方法，其后导致海王星的发现。高斯把天文当作他的职业而把纯数学当作他的消遣，他时时发表个人研究中的一些成果。他在超几何级数方面的伟大工作（1812)就是属于这一时期的。这是一项典型高斯式的成果，充满了分析中的新思想，使他以后的数学家一直为之钻研。

1820年左右他应汉诺威（Hannover）政府之请主持该王国的大地测量工作，而这一工作的各项杂务（包括大量的野外工作和许多次单调乏味的三角测量）占了他好多年的时间。我们自然要认为像他这样的人才去做这种工作是浪费，但科学上的伟大思想常是以许多奇特的方式产生出来的。这些表面上枯燥的工作却使他对纯数学做出了他最深刻最有影响的贡献之一，没有这一工作，爱因斯坦的一般相对论就不可能有。（一般相对论即狭义相对论）

高斯的大地测量工作是要准确测量地球表面上的大三角形。这促使他产生出《关于曲面面积一般论述》(1827) (“Disquisitiones generals circa snperficies curvas”）中的思想，在这一著作中他奠定了关于一般曲面的内在微分几何。这里他引入了曲面上的曲线坐标u及v；得出了弧素ds的基本二次微分型ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，使测地线的确定成为可能；提出了高斯曲率和总体曲率（integral curvature）的概念。他的主要成果是著名的颖异定理（theorema egregium),它指出高斯曲率只依赖于E,F及G，因而是在曲面扭变下的不变量；还有在测地线三角形情况下关于总体曲率的高斯-波内（Gauss-Bonnet）定理，它的一般形式是现代大范围微分几何里的核心事实。

除了细节上的发现之外，高斯见解的突出之点在于其内在这个词上，因为他指出怎样只凭曲面本身进行运算而不必管其所在的周围空间，就可以研究曲面。为把这事说得更具体些，我们设想有个二维空间的生灵，它居住在一曲面上而从不知道还有第三维或位在曲面以外的任何事物。如果这个生灵能够在曲面上走动，沿曲面测量距离，确定曲面上从一点到另一点的最短路线（测地线），那末他也能测算任一点处的高斯曲率，搞出关于该曲面的内容丰富的几何，而当且仅当这曲面的高斯曲率处处等于0时，这种几何才是欧氏（平面）几何。如果把这些概念推广到二维以上，那就向黎曼几何、张量分析和爱因斯坦的观点打开了大门。

这时期的另一伟大著作是1831年发表的关于四次剩余（biquadratic residues)的论文。这里他借助于一种新方法（纯粹从代数观点来处理复数）推广了他早年在数论中的一些发现。他把复数定义为有序的实数对，并给它的代数运算作了合适的定义，这样一来，就把围绕着复数的议论纷纷的混乱意见平息下去，而为以后n维空间的代数与几何铺平了道路。但这只是附带收获，他的主要目的是把数论中的思想推广到复数领域上去。

他把复整数（现称为高斯整数）定义为复数a+ib，其中a及b为普通整数；他引入质数的一个新概念，按照这个新的质数概念，3仍是质数，但5=(1+2i)(1-2i)就不是；并且他也对这些整数和质数证明了唯一质因子分解定理。这论文中的思想开创了代数数论，这一领域从他那时起至今仍在不断稳步发展。

从1830以后，高斯越来越多地从事物理研究，而凡是他所接触到的分支都有他所增添的贡献。在表面张力论里，他发展了能量守恒的基本概念并解决了变分法中最早涉及具有可变积分限的二重积分的问题。在光学方面，他引入了透镜组的焦距概念，发明了给望远镜和照相机作物镜用的高斯大角度透镜（它的色散畸变相对说来较少）。他几乎一手创立了地磁学，并且在他的朋友和同事W.韦柏（Weber）的合作之下，建造和经管一处无铁的地磁观测所，创办了磁学联合会，以收集和公布从世界许多地方得来的数据，发明了电磁电报通讯和双焦测磁计(bifilar magnetometer)。在麦克士韦（James Clerk Maxwell）的名著《电磁学》(“Treatise on Electricity and Magnetism”）中许多地方指出要参考高斯的著作。麦克士韦在序言中说高斯“对磁学及其观察方法运用了他的强大智慧，他不仅使我们大大增加了对引力理论的知识，并且在所用仪器上。在观察方法及结果的计算上改造了整个磁学，因而他的地磁学著作，对一切从事于测量任何自然力的人来说，可以说是物理研究的典范。”

1839年高斯发表了关于平方反比例力一般理论的基本论文，作为数学的一个自成一体的分支建立了势论。他照常要对这些事情熟思多年；在他的发现之中有：近代矢量分析中的散度定理（又叫高斯定理），关于调和函数的基本均值定理，以及那个非常有用而日后称为“狄利克雷原理”的命题（它在1899年终于为希尔柏脱所证明）。

以上讨论了高斯全部成就中已经公开发表的部分，但其未曾公开发表的私人保藏部分几乎同样可观。在他死后人们仔细分析他在笔记本中和科学通信中的大量材料，并将它们收集在他的全集中，这些东西才公之于世。他的科学日记前面已经说过。这本只有19页的小册子是数学史上最珍贵的文献之一，它是直到1898年在高斯一个孙子的家藏信件堆中找出后才为世人所知的。日记包括1796年到1814年这段时期，内含146项关于他研究结果的简明叙述，而这些都是他花了几个星期或几个月的劳动成果。所有这些材料充分证明，高斯这些叙述得相当详细但只有他自己知道的思想，如果当时发表出来，那末即使他并没有做出他所发表的其他工作，也会使他成为当代最伟大的数学家。

例如，复变函数论是十九世纪数学的主要成就之一，而这门学科的核心事实是柯西积分定理（1827)以及解析函数的台劳展开式和罗朗展开式（1831,1843)。高斯在他1811年致友人贝塞耳的信中明确提出了柯西定理，然后又说，“这是个很妙的定理，它的证明颇为简单，我将在适当时机发表。它同别的一些有关级数展开式的有趣事实是分不开的”。

所以在这两个重要发现被公众承认的学者做出之前许多年，高斯就已经知道柯西定理，而且或许也知道两个级数展开式。但不知出于什么原因，发表的“适当时机”从未出现。我们从他给W.鲍里耶(Wolfgang Bollyai，他从大学时代起的密友，并终生保持通信关系）一封信中的话，可能获得解释这一情况的原因。他在信中说：“给予我最大愉快的事不是知识本身而是学习过程，不是所取得的成就而是得出成就的过程。当我把一个问题搞清楚了并研究透澈了，我就放下不管，以便转而再去探索未知的领域”。

他的脾气就像一个探险家，如果他在结束一次探险后能立即开始作另一次探险，他就不愿化费时间来写他前一次探险的经过。所以事情就是这样，高斯虽然写出很多作品，但要他把每一项基本发现都写成能使他自己满意的形式发表出来，那就需要有好几个长寿者的终生时间。

另一个例子是非欧几何，它对文明人思想冲击之大曾与哥白尼在天文学上的革命比美。从欧几里德时代直到高斯的童年，人们普遍认为欧几里德的公理是思维的必然规律。然而欧几里德公理体系中有一个缺点早就受人注意，这就是所谓平行公理，说的是：通过直线外一点，只有一根直线平行于所给直线。有人认为这个公理并非独立于其他公理之外，许多人想把它作为一个定理来证明而不得成功。

现在我们知道高斯十五岁时也参与这项工作并且也失败了。但他之失败不同于前人，因他不久就得出了惊人的结论（这是他前人都没有想到的）：欧几里德形式的几何并非唯一可能的几何。他多年来时断时续地按这种思想进行些研究，而到1820他已完全掌握了非欧几何的主要定理（这个名称也是他起的）。但他并没有把他的结果透露给人，而1829及1832年罗巴切夫斯基及J.鲍里耶（W.鲍里耶的儿子）各自独立地发表了他们在这方面的工作。

在这个问题上，高斯之所以守口如瓶的原因是很简单的。当时德国知识界完全受康德哲学的支配，而康德体系的基本教条之一则认为欧氏几何是思考空间问题的唯一可能途径。

高斯知道这个思想是完全错误的，也知道康德体系是建筑在沙堆上的。但他珍惜他平静的私生活，为免于浪费时间去同哲学家闹口角，他就沉默不语。1829年他在给贝塞耳信中说：“我对于这一问题（几何基础）的很广泛的研究，在很长时期内（也许终我一生）都不会写成可供发表的形式，因为深恐若把自己在这个问题上的意见完全说出来，就会听到那些皮奥兴人（皮奥兴人是古希腊一个部族，以愚蠢无知闻名，受雅典人轻视。）的尖声狂叫。”

在椭圆函数论方面也有同样的情形。这是一门内容丰富的分析领域，主要是由阿倍耳在1827年和雅可比在1828-1829年发表的。高斯在这方面什么也没有发表，也不声称哪些发现是属于他的，因此当日后数学界慢慢知道，高斯发现阿倍耳和雅可比的许多结果是他早在二人出世之前就有了的，都为此感到惊异不止。

阿倍耳幸而在1829年二十六岁时就早死了，免于得悉这一可能使他丧气的事；但雅可比却不得不咽下他的失望情绪继续干下去。事实真相部分是通过雅可比本人透露出来的。

他注意到《论丛》（第335款）中有一段难懂的文字，它的意义只有知道点椭圆函数的人才能理解。他为此去找过几次高斯以便证实他所猜度的事，同时把自己最新的发现告诉高斯。每次去高斯都从他的抽屉里拿出30年之久的手稿，把雅可比所告诉的新发现指给他看。

我们不难想象雅可比是多么失望丧气。但高斯此时对于个人声誉已经谈泊，实际上反而因为可以免去写文章论述他早已计划要发表的题材而感到高兴。

1840年雅可比在高斯那里做客一星期后写信给他的兄弟说：“如果实际天文工作没有把这位巨大天才的精力，从他那光辉的事业中分散出去，数学的情况，将与今日大不相同。”

这就是高斯，至高无上的数学家。他在那么多方面的成就超过一个普通天才人物所能达到的水平，以至于我们有时会产生一种离奇的感觉，以为他竟是上界的天人。